Простая физика
Категория:
Планиметрия (17) ...Свойства медиан
Сегодня рассмотрим несколько задач на свойства медиан. Например, прием удвоения медианы и то, что медиана делит треугольник на два равновеликих, а три медианы – на шесть равновеликих.
Задача 1.
В треугольнике АВС медиана АМ перпендикулярна медиане BN. Найдите площадь треугольника АВС, если длина АМ равна 3, а длина BN равна 4.
Решение.
К задаче 1
Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1, то длина $AO=2$, тогда площадь $ABN$ равна
$$S=\frac{1}{2}AO\cdot BN=\frac{1}{2}\cdot 2 \cdot 4=4$$
Поскольку медиана $BN$ делит треугольник на два равновеликих, то площадь $ABC$ равна 8.
Ответ: 8.
Задача 2.
Основание равнобедренного треугольника равно 2. Медианы, проведенные к боковым сторонам, взаимно перпендикулярны. Найдите площадь треугольника.
К задаче 2
Решение. Так как треугольник равнобедренный, его медианы равны. То есть треугольник $ACO$ тоже равнобедренный. Тогда
$$AO=OC=\sqrt{2}$$
А поскольку $AO=\frac{2}{3}AF$, то длина $AF=1,5\sqrt{2}$.
площадь треугольника $AFС$ равна
$$S=\frac{1}{2}AF\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot 1,5\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}=1,5$$
Поэтому площадь треугольника $ABC$ вдвое больше и равна 3.
Ответ: 3.
Задача 3.
Две медианы равнобедренного треугольника взаимно перпендикулярны. Боковая сторона равна $\sqrt{10}$. Найдите площадь треугольника.
К задаче 3
Решение. Так как треугольник равнобедренный, его медианы равны. Тогда примем $OF=x$, $OC=2x$, для прямоугольного треугольника $OFC$ справедлива теорема Пифагора:
$$OF^2+OC^2=\left(\frac{\sqrt{10}}{2}\right)^2$$
$$x^2+4x^2=2,5$$
$$x^2=0,5$$
$$x=\frac{1}{\sqrt{2}}$$
Площадь треугольника $AFC$:
$$S_{AFC}=\frac{1}{2}\cdot AF\cdot OC=\frac{1}{2}\cdot 3x\cdot 2x=3x^2$$
$$S_{AFC}=1,5$$
Поэтому площадь треугольника $ABC$ вдвое больше и равна 3.
Ответ: 3.
Задача 4.
В треугольнике $ABC$ медианы $AD$ и $BE$ перпендикулярны, $AC=3$, $BC=4$. Чему равен квадрат третьей стороны?
К задаче 4
Решение. Пусть $AO=2x$, $OD=x$, $BO=2y$, $OE=y$. Тогда для треугольника $BOD$ теорема Пифагора:
$$4y^2+x^2=4$$
А для треугольника $AOE$:
$$4x^2+y^2=2,25$$
Теперь решим систему. Сложение уравнений дает:
$$5x^2+5y^2=6,25$$
$$x^2+y^2=1,25$$
Подставим во второе уравнение:
$$4x^2+1,25-x^2=2,25$$
$$3x^2=1$$
$$y^2=\frac{5}{4}-\frac{1}{3}=\frac{11}{12}$$
Из треугольника $AOB$ найдем квадрат третьей стороны.
$$AB^2=AO^2+OB^2=4x^2+4y^2=\frac{4}{3}+\frac{11}{3}=\frac{15}{3}=5$$
Ответ: 5.
Задача 5.
Сторона треугольника равна 20, а медианы, проведенные к двум другим сторонам – 24 и 18. Найдите площадь треугольника.
К задаче 5
Решение. Рассмотрим треугольник $AOC$. В нем известны три стороны и найти его площадь по формуле Герона совсем легко. $AO=\frac{2}{3}\cdot 24=18$, $OC=\frac{2}{3}\cdot 18=12$.
$$S=\sqrt{24(24-12)(24-16)(24-20)}=\sqrt{12\cdot 2\cdot 12\cdot 8\cdot 4}=96$$
А, поскольку медианы разбивают треугольник на шесть равновеликих, то площадь эта - $\frac{2}{6}\cdot ABC$, значит, площадь треугольника $ABC$ равна $96\cdot 3=288$.
Ответ: 288.
Задача 6.
Стороны треугольника равны 13, 14 и 15. Найти площади треугольников, на которые разбивается данный треугольник его медианами.
Решение: по формуле Герона определяем площадь треугольника:
$$S=\sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)}=\sqrt{21\cdot 8\cdot 7\cdot 6}=84$$
Медианы разобьют данный треугольник на шесть равных по площади:
$$\frac{1}{6}\cdot 84=14$$
Ответ: 14.
Задача 7.
Площадь треугольника АВС равна 12. Из вершины тупого угла В проведена медиана BD, длина которой равна 3. Найдите длину стороны АС, если угол ABD – прямой.
К задаче 7
Решение. Медиана разобьет треугольник $ABC$ на два равных по площади. Поскольку катет одного из них известен, а также известна площадь, то можно найти второй катет.
$$S=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot AB$$
$$AB=\frac{2S}{3}=4$$
Так как треугольник $ABD$ прямоугольный, то он египетский и его гипотенуза равна 5. Поэтому $AC=10$.
Ответ: 10.
Задача 8.
Найдите площадь треугольника, если две его стороны равны 1 и $\sqrt{15}$, а медиана третьей стороны равна 2.
К задаче 8
Решение. Видишь медиану – удвой ее. Получаем параллелограмм $ABCD$ с диагональю 4 и сторонами 1 и $\sqrt{15}$. Треугольник $ABD$ подчиняется теореме Пифагора. Его площадь равна площади треугольника $ABC$.
$$S=\frac{1}{2}\cdot 1 \cdot \sqrt{15}=\frac{\sqrt{15}}{2}$$
Ответ: $S=\frac{\sqrt{15}}{2}$