Снова площади: группа Math-Досуг

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Пусть сторона квадрата $a$. Рассмотрим треугольник $ABC$. Он равнобедренный, $AB=AC=\frac{a}{2}\sqrt{5}$ - это из теоремы Пифагора для треугольника $ACD$. $BC=\frac{a}{2}\sqrt{2}$. В треугольнике $ABC$ нас интересует угол $BAC$, его мы определим из теоремы косинусов:

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cos BAC$$

Множество дополнительных построений

$$\frac{2a^2}{4}=2\cdot\frac{5a^2}{4}-2\cdot\frac{5a^2}{4}\cos BAC$$

$$2=10-10\cos BAC$$

$$\cos BAC=0,8$$

В нашем квадрате $AC\perp BD$. Поэтому треугольник $KDC$ прямоугольный, да в нем еще и $\operatorname {tg} BDC=\frac{1}{2}$, а значит, $KD=2$, $DC=\sqrt{5}=\frac{a}{2}$.

Рассматриваем четырехугольник $ARTF$. В нем угол $RTF$ тупой, а углы $ART$ и $AFT$ - прямые. Тогда $\cos RTF=-0,8$, $\sin RTF=0,6$, и также синус смежного с ним угла такой же – 0,6. А смежный с $RTF$ угол принадлежит розовому треугольнику (кстати, тангенс его равен $\frac{3}{4}$).

У розового треугольничка катеты различны. Пусть больший $b$, меньший - $c$.

Исследуем треугольник $DNK$. $NK=b$, $\angle NDK=\frac{BAC}{2}$, $DK=2$.

$$\sin^2 NDK=\frac{1-\cos BAC}{2}=\frac{1}{10}$$

$$\sin NDK=\frac{1}{\sqrt{10}}$$

$$\cos NDK=\frac{3}{\sqrt{10}}$$

$$\operatorname {tg} NDK=\frac{1}{3}$$

Тогда

$$NK=b=\frac{1}{3}DK=\frac{2}{3}$$

$$\frac{c}{b}=\frac{3}{4}$$

$$c=\frac{1}{2}$$

Определяем площадь маленького розового треугольника:

$$S_1=\frac{1}{2}bc=\frac{1}{6}$$

Теперь площадь розовой области:

$$S_8=8S_1=\frac{4}{3}$$

Ответ: $\frac{4}{3}$.

 

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Определяем $AE$:

$$AE=AD\sqrt{2}=2\sqrt{2}$$

Определяем $FE$:

$$FE=\sqrt{AE^2-AF^2}=\sqrt{8-6}=\sqrt{2}$$

Имеем два  (нет, три!) подобных треугольника: $ABC$, $AFC$, $DEC$. У них у всех общий угол $\angle DCE=\alpha$:

$$\operatorname {tg}\alpha=\frac{DE}{DC}=\frac{AF}{FC}=\frac{AB}{AC}$$

$$\frac{DE}{DC}=\frac{AF}{FC}$$

$$\frac{2}{DC}=\frac{\sqrt{6}}{FC}$$

$$\frac{2}{DC}=\frac{\sqrt{6}}{EC+\sqrt{2}}$$

$$\sqrt{6} DC=2\sqrt{2}+2EC$$

$$\sqrt{6} DC=2\sqrt{2}+2\sqrt{2^2+DC^2}$$

Возведем в квадрат:

$$(\sqrt{6} DC-2\sqrt{2})^2=2\sqrt{2^2+DC^2}$$

$$6DC^2-4\sqrt{12}DC+8=4(2^2+DC^2)$$

$$2DC^2-4\sqrt{12}DC-8=0$$

Откуда

$$DC=4+\sqrt{12}$$

Тогда $AC=2+DC=6+\sqrt{12}$.

Рассуждаем далее:

$$\sin \alpha=\frac{AF}{AC}=\frac{\sqrt{6}}{6+\sqrt{12}}=\frac{1}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{ED}{EC}=\frac{2}{EC}$$

$$EC=2(\sqrt{6}+\sqrt{2})$$

Тогда

$$FC=EC+FE=2(\sqrt{6}+\sqrt{2})+\sqrt{2}=3\sqrt{2}+2\sqrt{6}$$

Вернемся к тангенсу $\alpha$:

$$\operatorname {tg}\alpha=\frac{AF}{FC}=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}$$

Теперь $AB$:

$$\operatorname {tg}\alpha=\frac{AB}{AC}$$

$$AB=\frac{\sqrt{6}}{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}\cdot (6+\sqrt{12})$$

Наконец, искомая площадь:

$$S=\frac{AB\cdot AC}{2}=\frac{\sqrt{6}(6+\sqrt{12})^2}{3\sqrt{2}+2\sqrt{6}}=\frac{36+12\sqrt{12}+12}{2(2+\sqrt{3})}$$

$$S=\frac{24+6\sqrt{12}}{2+\sqrt{3}}=\frac{24+12\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}=12$$

Ответ: 12.

 

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. $BD$ - биссектриса, по свойству биссектрисы

$$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$$

$$\frac{AB}{9}=\frac{3}{x}$$

Откуда

$$AB=\frac{27}{x}$$

По теореме синусов для треугольника $ABC$

$$\frac{AB}{\sin\alpha}=\frac{BC}{\sin 2\alpha}$$

$$\frac{\frac{27}{x}}{\sin\alpha}=\frac{9}{2\sin \alpha\cos \alpha}$$

$$\frac{27}{x}=\frac{9}{2\cos \alpha}$$

Откуда

$$x=6\cos \alpha$$

Теперь проведем биссектрису, разбивая угол $2\alpha$ на одинаковые. Замечаем, что образуются подобные  треугольники $ABM$ и $ABC$:

Строим биссектрису AM и образуем  два подобных треугольника

Треугольник $AMC$ равнобедренный, для него

$$2MC \cos\alpha=AD+DC$$

$$2MC\cos\alpha=3+6\cos\alpha~~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

$$MC=9-BM$$

Для указанных подобных треугольников отношение сходственных сторон

$$\frac{BC}{AB}=\frac{AB}{BM}$$

$$\frac{9}{\frac{27}{x}}=\frac{\frac{27}{x}}{BM}$$

$$BM=\frac{27^2}{9x^2}=\frac{81}{x^2}$$

Переписываем (1):

$$MC=\frac{1,5}{\cos\alpha }+3$$

Подставляем $BM$:

$$9-\frac{81}{x^2}=\frac{1,5}{\cos\alpha }+3$$

Или

$$9-\frac{81}{36\cos^2 \alpha}=\frac{1,5}{\cos\alpha }+3$$

Имеем квадратное уравнение, где $b=\frac{1}{\cos \alpha}$:

$$6-\frac{9}{4}b^2-1,5b=0$$

$$b=\frac{4}{3}$$

$$\cos \alpha=\frac{3}{4}$$

Искомое расстояние

$$x=6\cos\alpha=6\cdot \frac{3}{4}=4,5$$

Ответ: 4,5