С4. Задача с двумя окружностями.

Четырехугольник ABKD вписан в окружность W с радиусом . На отрезке KD точка С так, что ВС перпендикулярна KD. Около треугольника КВС описана окружность Q радиуса 6. Эта окружность касается AD и AB. Найти AB, угол BAD, площадь четырехугольника  ABKD.

Нарисуем чертеж:

Рисунок к задаче

Уточнение и дополнение рисунка

Здесь черная окружность - это окружность Q радиуса 6 с центром в точке О, а красная - W с радиусом и центром в точке S. Соответствующим цветом показаны и радиусы окружностей. Так как треугольник AKC по условию прямоугольный, то центр описанной около него окружности лежит на середине его гипотенузы. Известно, что окружность Q касается AD. Тогда AD перпендикулярна АК, угол КАD - прямой. У вписанного четырехугольника сумма противоположных углов равна 180. Значит, угол BDK, который противоположен углу КАD - тоже прямой и BD перпендикулярна KD. Значит, BD параллельна AC (так как они обе перпендикулярны KD).

По условию, окружность Q касается BD, то есть ее радиус ON, проведенный к точке касания, перпендикулярен BD (рисунок справа). Значит, радиус ON перпендикулярен AC. Отрезок OP таким образом - высота равнобедренного треугольника AOC. Треугольники BOP и OPC равны (по трем сторонам).Проведем перпендикуляр из точки О к отрезку KD - OM. Треугольник KOM равен треугольнику AOP (по равенству гипотенуз и катета - для прямоугольных треугольников этого достаточно), и равен треугольнику OMC. Значит, все четыре треугольника равны  ВOP=  OPC=  OCM=  OMK (у них равные катеты). А поскольку они все равнобедренные,то угол AKC=45. Тогда можем найти угол ABD, он равен 135.

Определим теперь длину отрезка АВ. Для этого необходимо точно понимать расположение центра S окружности W.

Точка S лежит на серединном перпендикуляре к отрезку АК, так как этот отрезок - хорда окружности W. Кроме того, из установленного ранее равенства треугольников выясняется, что треугольник AKC - равнобедренный, значит, ОС - его высота и она-то и есть упомянутый серединный перпендикуляр. Можем определить расстояние между центрами обеих окружностей: 

Теперь проведем вспомогательные отрезки (на рисунке - зеленым цветом) - ST и SB. ST проведем параллельно OA, тогда его длина - 6, а SB представляет собой радиус окружности W и равен  . В прямоугольном  OТВ определим катет ТВ:

Дополнительные построения

Дополнительные построения, окончание решения

Эти построения позволяют найти длину отрезка AB - он равен 2(сумма расстояний TB и OS).

Осталось определить площадь исходного четырехугольника. Достроим его до треугольника FKD. Треугольник FKD - прямоугольный и равнобедренный, так как его углы по 45. Чтобы найти площадь четырехугольника, найдем площадь треугольника  FKD и вычтем из нее площадь треугольника FAB. Он также прямоугольный и равнобедренный, и его катет равен 2 (АВ). Площадь его тогда 2, а гипотенуза . Гипотенуза большого треугольника FKD равна 14: АО +ОК+AF=6+6+2=14, а, так как он равнобедренный, можем найти его катеты:  . Тогда его площадь:  .

Наконец, искомая площадь: