Решебник задачника Гордина по планиметрии, задачи 2.17.2-2.20.2

Задача 2.17.2

Медиана $CK$ треугольника $ABC$ продолжена за точку $K$ на расстояние $KM=CK$.

а) Докажите, что $AM \parallel BC$.

б) Найдите площадь треугольника $ABC$, если $AC = 10, BC = 24, CK=13$.

Рисунок к задаче 2.17.2

Решение. а) Так как $AMBC$ - параллелограмм (по третьему признаку параллелограмма – диагонали делятся точкой пересечения пополам), то $AM\parallel CB$.

б)  $S_{ABC}=S_{CMB}$, так как у них одно основание и одна и та же высота – высота параллелограмма $AMBC$. В треугольнике $CMB$ известны все стороны, поэтому найдем его площадь по формуле Герона:

$$ S_{CMB}=\sqrt{p(p-CM)(p-CB)(p-BM)}=\sqrt{30(30-26)(30-24)(30-10)}=\sqrt{30\cdot 4\cdot 6\cdot 20}=2\cdot 5\cdot 6\cdot 2=120$$

Ответ: б) 120.

 

Задача 2.18.2.

В треугольнике $ABC$ высота $AH$ равна 30, медиана $BM$ равна 25, расстояние от точки пересечения отрезков $BM$ и $AH$ до стороны $BC$ равно 6.

а) Докажите, что $\frac{BH}{CH}=\frac{1}{3}$

б) Найдите площадь треугольника $AMB$.

Рисунок к задаче 2.18.2

Решение. а) Расстояние от точки пересечения отрезков $BM$ и $AH$ до стороны $BC$ - это кусок высоты $AH$. По теореме Менелая

$$\frac{AM}{MC}\cdot\frac{CB}{BH}\cdot\frac{HO}{OA}=1$$

$$\frac{1}{1}\cdot\frac{CB}{BH}\cdot\frac{6}{24}=1$$

$$\frac{CB}{BH}=\frac{4}{1}$$

$$\frac{BH}{CH}=\frac{1}{3}$$

б) Продлим медиану $BM$ до пересечения с прямой, параллельной $CB$ и проходящей через точку $A$:

Удваиваем медиану 

Треугольники $AKM$ и $CMB$ равны по второму признаку ($\angle AMK-\angle CMB$ как вертикальные, $CM=MA$ по условию, $\angle KAM=\angle MCB$ как накрестлежащие). Тогда, если $BH=x$, $CH=3x$, то $AK=4x$.

Треугольники $AKO$ и $OHB$ подобны по двум углам, и коэффициент подобия равен $k=4$. Значит, $\frac{KO}{OB}=4$. Так как, продлив медиану, мы ее удвоили, и $KB=50$, то $KO=40$ и $OB=10$, а значит, $MO=15$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $OBH$. Длины его сторон – Пифагорова тройка: $OB=10$, $OH=6$, следовательно, $HB=x=8$. Тогда $CB=32$. Площадь треугольника $ACB$

$$S_{ACB}=\frac{1}{2}CB\cdot AH=0,5\cdot 32\cdot 30=480$$

А площадь $AMB$ равна половине площади $ACB$, так как медиана разбивает треугольник на два равновеликих.

Ответ: б) 240.

 

Задача 2.19.2.

Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB=14, BC=8$ и медианой $BM=9$.

а) Докажите, что треугольник $ABC$ равнобедренный.

б) Найдите высоту треугольника $ABC$, проведённую из вершины $B$.

Рисунок к задаче 2.19.2

Решение. Можно, зная длину медианы и длины двух сторон, найти третью:

$$BM=\frac{1}{2}\sqrt{2CB^2+2AB^2-AC^2}$$

$$4BM^2=2CB^2+2AB^2-AC^2$$

$$AC^2=2CB^2+2AB^2-4BM^2=2\cdot 64+2\cdot 196-4\cdot 81=196$$

$$AC=14$$

Следовательно, треугольник $ABC$ равнобедренный. Доказано.

Можно иначе: найдем площадь $ABC$. Для этого удвоим медиану и определим площадь $ABF$, которая равна площади $ABC$:

Дополнительное построение: удвоение медианы

$$ S_{ABF}=\sqrt{p(p-AB)(p-BF)(p-AF)}=\sqrt{20(20-14)(20-18)(20-8)}=\sqrt{20\cdot 6\cdot 2\cdot 12}=2\cdot 6\cdot 2\sqrt{5}=24\sqrt{5}$$

Площадь треугольника $ABM$ вдвое меньше (по свойству медианы), $S_{ABM}=12\sqrt{5}$. Основание $AB=14$, найдем высоту $\triangle ABM$:

$$MH=\frac{2S_{ABM}}{AB}=\frac{24\sqrt{5}}{14}=\frac{12}{7}\sqrt{5}$$

Строим высоту $MH$

По теореме Пифагора

$$BH=\sqrt{BM^2-MH^2}=\sqrt{81-\frac{144\cdot5}{49}}=\sqrt{\frac{3249}{49}}=\frac{57}{7}$$

Длина отрезка $AH$:

$$AH=AB-BH=14-\frac{57}{7}=\frac{41}{7}$$

По теореме Пифагора

$$AM=\sqrt{AH^2+MH^2}=\sqrt{\frac{41^2+720}{49}}=\sqrt{\frac{2401}{49}}=\frac{49}{7}=7$$

Тогда $AC=2AM=14$. Доказано.

б)

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH_1$$

$$BH_1=\frac{2 S_{ABC}}{AC}=\frac{48\sqrt{5}}{14}=\frac{24\sqrt{5}}{7}$$

Ответ: б) $BH_1=\frac{24\sqrt{5}}{7}$

Задача 2.20.2

На сторонах $AC$ и $BC$ треугольника $ABC$ вне треугольника построены квадраты $ACDE$ и $BFKC$. Точка $L$—середина отрезка $DK$.

а) Докажите, что $CL= \frac{1}{2}AB$.

б) Найдите расстояние между центрами квадратов, если $AC=2\sqrt{2}, BC=3\sqrt{6}$ и $\angle ACB=60^{\circ}$.

Рисунок к задаче 2.20.2

Решение. а) $CL$ - медиана треугольника $CKD$. Удвоим ее:

Удваиваем медиану

$LM=CL$, $CKMD$ - параллелограмм, $KM=CD$, $KC=MD$. Также $KM=AC$, $MD=BC$. Углы $\angle BCA$ и $\angle KCD$ дополняют друг друга до $180^{\circ}$, поэтому $\angle CDM=\angle BCA$. Значит, $\triangle CMD=\triangle ABC$ по первому признаку. Тогда $CM=AB$, а $CL=\frac{1}{2}AB$. Доказано.

б) $\angle OCB=45^{\circ}$, $\angle ACO_1=45^{\circ}$, $\angle BCA=60^{\circ}$, следовательно, $\angle OCO_1=150^{\circ}$.

Определяем длину $OO_1$ по теореме косинусов:

$$OO_1^2=OC^2+CO_1^2-2OC\cdot CO_1\cos 150^{\circ}$$

$$OC=\frac{BC}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{6}}{\sqrt{2}}=3\sqrt{3}$$

$$CO_1=\frac{AC}{\sqrt{2}}=2$$

$$OO_1^2=27+4+2\cdot 3\sqrt{3}\cdot  2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=31+18=49$$

$$OO_1=7$$

Ответ: б) 7.