Разные интересные задачи по геометрии: площади, длины и углы

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. В треугольнике $ABC$ $AB=1,5a$, $BC=0,5a$. $a$ - сторона голубого квадрата.

Дополнительные построения

Треугольник $ABC$ равен треугольнику $AFD$, а также треугольнику $BKP$, откуда $BP=CD=1,5a$, $KP=AC=\frac{a}{2}$.

Равные треугольники

В треугольнике $ONK$ $NK=PM=a$, $NO=KP+MO=a$, он равнобедренный с углом $45^{\circ}$, значит, угол $KOC=135^{\circ}$.

Ответ: $135^{\circ}$.

Задача 2.

Задача с двумя окружностями.

Рисунок к задаче 2

Решение. Треугольники подобны. Коэффициент подобия

$$k=\frac{a}{2}\cdot \frac{3}{a}=1,5$$

Если высоты треугольников $H$ (большого) и $h$ - малого, то, во-первых,

$$H+h=a=1$$

Во-вторых,

$$\frac{H}{h}=1,5$$

Тогда

$$1,5h+h=1$$

$$h=0,4$$

Основание малого треугольника $\frac{1}{3}$, высота $h=0,4$. Определим боковую сторону:

$$b=\sqrt{\frac{1^2}{6^2}+\frac{2^2}{5^2}}=\frac{13}{30}$$

Полупериметр малого треугольника

$$p=b+\frac{a}{6}=\frac{13}{30}+\frac{1}{6}=\frac{18}{30}$$

Площадь малого треугольника

$$S_m=\frac{1}{2}\frac{a}{3}\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{3}\cdot 0,4=\frac{0,2}{3}$$

Определяем радиус малой окружности:

$$r=\frac{S_m}{p}=\frac{0,2}{3}\cdot \frac{30}{18}=\frac{2}{18}$$

Так как треугольники подобны, определяем радиус большой окружности через коэффициент подобия:

$$R=kr=1,5\cdot \frac{1}{9}=\frac{1}{6}$$

Отвечаем на вопрос задачи:

$$R-r=\frac{1}{6}-\frac{1}{9}=\frac{1}{18}$$

Ответ: $R-r=\frac{1}{18}$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Площади треугольников равны, так как их углы имеют одинаковые синусы (дополняют друг друга до $180^{\circ}$). Площадь прямоугольного равна $4\cdot 7\cdot 0,5=14$.

Ответ: 14.