Разное из группы Math-Досуг: углы и длины

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Пусть $AD=x$. Тогда замечаем, что треугольники $ADC$ и $ADF$ подобны по двум углам, и для них соотношение сходственных сторон

$$\frac{AD}{DC}=\frac{DF}{AD}$$

$$\frac{x}{5}=\frac{2}{x}$$

$$x=AD=\sqrt{10}$$

Тогда по теореме Пифагора

$$AD^2-BD^2=AB^2$$

$$10-1=AB^2$$

$$AB=3$$

Тогда искомый угол равен $\alpha=45^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=45^{\circ}$.

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение. Квадрат надо расположить определенным образом, а именно, его стороны $AB$ и $DC$ должны быть параллельны биссектрисе угла $AOD$.

Тогда, если сторона квадрата $a$, то $AO=\frac{a}{\sqrt{2}}$, $OB=1$, так как круг единичный. Угол $FAB=45^{\circ}$, угол $BAO=135^{\circ}$. Запишем теорему косинусов для треугольника $AOB$:

$$OB^2=AO^2+AB^2-2AO\cdot AB\cos BAO$$

$$1^2=\frac{a^2}{2}+a^2-2\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot a\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}$$

$$1^2=\frac{a^2}{2}+a^2-2\frac{a}{\sqrt{2}}\cdot a\cdot \frac{-\sqrt{2}}{2}$$

$$2,5a^2=1$$

$$a^2=\frac{1}{2,5}=0,4$$

Ответ: площадь квадрата $S=a^2=0,4$.

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Сделаем дополнительные построения: проведем биссектрису угла $ABC$. Получим равнобедренный треугольник $ABH$. По свойству биссектрисы она разделит $AC$ в отношении $5:4$ -

$$\frac{AH}{HC}=\frac{5x}{4x}$$

Построим биссектрису, чтобы получить одинарный угол

Рассмотрим треугольники $ABС$ и $BHC$ и сыграем на том, что в них есть одинаковые углы - $\alpha$. Запишем для обоих теоремы косинусов:

$$HC^2=BH^2+BC^2-2BH\cdot BC\cdot \cos \alpha$$

$$BC^2=AB^2+AC^2-2AB\cdot AC\cdot \cos \alpha$$

$$(4x)^2=(5x)^2+4^2-2\cdot 5x\cdot 4\cdot \cos \alpha$$

$$4^2=5^2+(9x)^2-2\cdot 5\cdot 9x\cdot \cos \alpha$$

$$9x^2+16=40x\cdot \cos \alpha$$

$$9+81x^2=90\cdot \cos \alpha$$

Умножим первое на 9, второе на 4, чтобы уравнять правые части.

$$81x^2+16\cdot 9=36+81x^2\cdot 4$$

$$27x^2=12$$

$$x^2=\frac{4}{9}$$

$$x=\frac{2}{3}$$

$$9x=AC=6$$

Ответ: 6.

Задача 4.

Рисунок к задаче 4

Треугольник $CBM$ равнобедренный, треугольник $AKC$ - аналогично. В этих треугольниках высоты, проведенные к основаниям $CM$ и $CK$ будут и медианами, и биссектрисами.

Построим в равнобедренных треугольниках высоты-медианы-биссектрисы

Но главное – биссектрисами, потому что про них мы знаем, что они пересекутся под углом $90^{\circ}+\frac{90^{\circ}}{2}=135^{\circ}$, а значит, $\alpha=45^{\circ}$.  

Ответ: $\alpha=45^{\circ}$.