Различные интересные геометрические задачи

В этой статье мы рассмотрим решение разных задач, которые показались мне нетривиальными, интересными, "с изюминкой".

1. В трапецию АВСD, боковые стороны которой СD и AB равны соответственно 6 и 10, вписана окружность радиуса 3. Продолжения боковых сторон пересекаются в точке М. Требуется найти радиус окружности, описанной около треугольника AMD.

Диаметр вписанной в трапецию окружности равен 6. Так как вписанная окружность касается оснований трапеции, то ее диаметр является высотой нашей трапеции. Но боковая сторона ее тоже 6! Известно, что перпендикуляр - кратчайшее расстояние между любыми объектами, поэтому боковая сторона СD -  перпендикулярна основаниям трапеции, иначе она была бы большей длины. Таким образом, трапеция прямоугольная и треугольник ADM - тоже прямоугольный. Тогда, чтобы найти радиус описанной около него окружности, нужно найти его гипотенузу - искомый радиус будет равен ее половине.

Рассмотрим теперь рисунок справа: проведем высоту трапеции из вершины В, как это показано красной линией на рисунке. В треугольнике АОВ известны гипотенуза (10) и высота (6). Определим его основание АО по теореме Пифагора - это второй его катет, и он равен 8:

 

Теперь можем определить основания нашей трапеции. Если в четырехугольник вписана окружность, то такой четырехугольник является описанным, и по свойству описанного четырехугольника суммы его противоположных сторон равны. То есть сумма оснований равна сумме боковых сторон, BC +AD=16. Тогда, поскольку OD=BC, то

 

Зная основание треугольника AMD, можем найти его гипотенузу. Здесь можно воспользоваться подобием треугольников ABO  и AMD, а можно - теоремой синусов. Также можно определить косинус угла А, и затем, зная его, найти гипотенузу треугольника AMD:

Итак, АМ=15. Радиус описанной около треугольника АMD окружности тогда 7.5

Ответ: 7.5

2. Плоскость, пересекающая ось цилиндра, пересекает основания цилиндра по хордам, длины которых равны 6 и 8. Найдите тангенс угла между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра, если диаметр основания равен 10, а образующая 14.

Нарисуем чертеж:
Чтобы определить тангенс искомого угла (рисунок справа), необходимо найти только расстояние между хордами.

Это расстояние - прилежащий катет треугольника MNP, тангенс угла N которого мы ищем. Противолежащий катет - образующая цилиндра, и она нам известна. То есть нам достаточно найти расстояния  KM и NO и сложить их. КM - высота равнобедренного треугольника ABK. NO - высота равнобедренного треугольника DOC. Равнобедренные они потому, что их боковые стороны - радиусы цилиндра. Найдем площади этих треугольников по формуле Герона, тогда мы сможем узнать их высоты. Формула Герона:

 

Здесь p - полупериметр треугольника. Тогда:

 

Так как основание треугольника AKB равно 6 (это известная нам хорда), то его высота, очевидно, равна 4. Итак, KM=4.

Теперь рассмотрим треугольник DNC:

Так как основание треугольника DNC равно 8 (это вторая известная нам хорда), то его высота, очевидно, равна 3, ON=3. Значит, NP=NO+KM=7.

Тогда тангенс искомого угла можно определить из прямоугольного треугольника NPM:

Ответ: тангенс угла равен 2.

3. Плоскость пересекает два шара, имеющих общий центр. Площадь сечения меньшего шара этой плоскостью равна 7. Плоскость  , параллельная  , касается меньшего шара, а площадь сечения большего шара этой плоскостью равна 5. Найдите площадь сечения большего шара плоскостью  .

Рассмотрим чертеж:

Красными линиями показаны плоскости, секущие шары. Зеленые линии - радиусы большего шара, серые - меньшего. Расставим буквы, чтобы обозначить необходимые расстояния:

Чтобы определить площадь сечения (которая является окружностью), необходимо знать радиус этой окружности. Нам нужно найти длину отрезка DB. Этот отрезок - катет прямоугольного треугольника DOB. Прямоугольный он потому, что плоскость  по условию касается меньшего шара, значит, отрезок EO перпендикулярен ей, и, следовательно, перпендикулярен и плоскости  , раз плоскости параллельны. В треугольнике DOB известна длина гипотенузы BO - это радиус большего шара R. Таким образом, нужно найти DO, чтобы воспользоваться теоремой Пифагора.

Рассмотрим треугольник EFO. Его гипотенуза - это также R, а один из катетов - EO - это радиус меньшего шара r. Тогда

Заметим, что    - известная нам площадь, равная по условию 5.

В треугольнике DOC:

Из треугольника DBO выразим искомый радиус DB:

Тогда:

Здесь тоже  фигурирует величина известная:    -  площадь, равная по условию 7. Умножим последнее уравнение на , и вот она - искомая площадь сечения!

Ответ: искомая площадь сечения - 12.

4. Найдите объем и площадь поверхности тела, полученного при вращении треугольника со  сторонами 13, 14 и 15 вокруг прямой, проходящей через вершину среднего по величине угла треугольника параллельно средней его стороне.

Чтобы лучше представить себе, как может выглядеть подобная фигура, рассмотрим чертеж:

Средний угол треугольника лежит против его средней стороны - то есть это угол, противолежащий стороне с длиной 14. Тогда при вращении треугольника получится цилиндр, из которого "вырезаны" два конуса: сверху и снизу. Высота нашего цилиндра равна длине стороны - 14, а образующие конусов равны 13 и 15. Тогда объем такой фигуры равен объему цилиндра за вычетом  объемов двух конусов, а площадь поверхности - это сумма боковых поверхностей обоих конусов и цилиндра.

Рассмотрим рисунок:

Здесь представлено осевое сечение цилиндра (вернее, его половина). Этот рисунок поможет определить радиус цилиндра R. Видно, что искомый радиус цилиндра - это высота треугольника ABC - AK. Чтобы определить высоту, найдем площадь треугольника ABC. Здесь можно воспользоваться формулой Герона:

Найдем половину периметра:

Теперь определим площадь:

Зная площадь треугольника, просто найти высоту, а  в нашем случае это радиус цилиндра:

Определим теперь высоты конусов h и H. Это можно сделать по теореме Пифагора из треугольников ABD и ACM:

Теперь нам известны радиус цилиндра, образующие и высоты конусов, так что найти требуемые объем и площадь поверхности  - дело техники, как говорится:

Площадь боковой поверхности цилиндра:

Площадь боковой поверхности конуса с меньшей высотой:

Площадь боковой поверхности конуса с большей высотой:

Общая площадь поверхности:

Объем цилиндра:

Объем  меньшего конуса:

Объем большего конуса:

Искомый объем фигуры равен разнице объемов цилиндра и двух конусов:

Ответ: объем 4222, площадь 2111.