Пробный ГИА 12 марта 2014 - задача С6

В этой статье представлено решение задачи С6 из пробного ГИА по математике, прошедшего в школах Санкт-Петербурга 12 марта.

Дано: в треугольнике ABC точка H - точка пересечения высот, а точка М - медиан этого треугольника. К - середина отрезка HM. Угол ВАС равен 45 градусам, длина стороны АВ - , длина отрезка CH - .

Найти площадь треугольника АКС.

Нарисуем чертеж:

Дано

На чертеже синими линиями проведены высоты треугольника, красными - медианы.

Чтобы определить площадь треугольника АКС, нужно знать его основание (АС) и высоту, или все его стороны - тогда можно воспользоваться формулой Герона. Нужно заметить, что длины сторон могут быть "неудобными" числами - тогда расчет по формуле Герона будет затруднителен. Поэтому попробуем воспользоваться первым вариантом, и сначала попробуем отыскать длину основания треугольника AKC - AC.

Рассмотрим треугольник АВО, где ВО - одна из высот треугольника АВС, поэтому треугольник АВО - прямоугольный (выделен голубым цветом):

Детали чертежа

Один из острых углов этого треугольника равен 45 градусам. Это значит, что второй его острый угол также составляет 45 градусов и этот треугольник - равнобедренный: АО=ВО. Зная гипотенузу, можем определить катеты данного треугольника по теореме Пифагора:

Рассмотрим теперь треугольник PHB (зеленый). Он также прямоугольный, и, поскольку угол PBH равен 45 градусам, то и угол PHB также равен 45 градусам. Следовательно, и угол OHC, как вертикальный, равен 45 градусам.

Подобные треугольники

 Таким образом, треугольник OHC - прямоугольный, равнобедренный и острые углы его равны 45 градусам (выделен желтым). А в этом треугольнике нам известна гипотенуза - отрезок CH. Поэтому и здесь катеты HO=OC также можно найти по теореме Пифагора:

Итак, основание теперь нам известно: AC=AO+OC=18+12=30. Дело за малым - найти высоту треугольника АКС. Для этого рассмотрим треугольник OBD. В нем нам известна длина катета BO, но также известна и длина второго его катета: действительно, ведь AD - половина АС, так как BD - медиана, тогда OD=AD-AO=15-12=3.

Продолжение решения

Треугольник OBD нужно рассмотреть подробнее. В нем BH=BO-OH=18-12=6. Проведем прямую SM, параллельную OD. Тогда треугольники BSM и BOD подобны. Так как медианы точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины, то BM:MD=2:1, то есть BM:BD=SM:OD=BS:BO=2:3. Тогда SM=2, BS=12, SO=6.

Окончание решения

Искомая высота треугольника AKC состоит из двух кусочков: расстояния от K до SM и отрезка SO. SO мы определили чуть выше, а KZ проведем перпендикулярно SM и тогда сможем определить длину этого отрезка из подобия треугольников SHM и KZM. Они подобны, так как KZ параллельна HS и перпендикулярна SM. По условию K - середина HM. Тогда KZ:HS=ZM:SM=KM:HM=1:2. Отрезок HS=6, тогда KZ=3.

Итак, высота треугольника AKC h=KZ+SO=3+6=9. Искомая площадь треугольника АКС:

Ответ: 135.