Площади кусочков квадратов - задачи группы Math-Досуг

Задача 1.

Найти отношение площади закрашенной фигуры к площади квадрата.

Рисунок к задаче 1

Решение. Площадь квадрата состоит из двух одинаковых площадей голубых треугольников (их площади составляют четверть площади квадрата), двух площадей белых треугольников, площади бежевой части и искомой площади. Заметим, что белые треугольники являются прямоугольными: угол $\angle BDC=\angle BCO$ ( из равенства треугольников $\triangle BDC=\triangle MFC$ по двум катетам), а так как у указанных равных углов две стороны перпендикулярны ($BC \perp DC$), то и две другие перпендикулярны так же: $BD \perp OC$. Обозначим $KO=y$, $BO=x$.

$$\operatorname{tg}\angle MCF=\frac{MF}{FC}=\frac{\frac{a}{2}}{a}=\frac{1}{2}$$

Откуда

$$\frac{BO}{OC}=\frac{1}{2}$$

Или $OC=2x$.

Окрасим площади для разбора

Рассмотрим треугольник $OBC$:

$$4x^2+x^2=\frac{a^2}{4}$$

$$5x^2=\frac{a^2}{4}$$

$$x^2=\frac{a^2}{20}$$

$$BO=x=\frac{a}{2\sqrt{5}}$$

$$OC=2x=\frac{a}{\sqrt{5}}$$

Далее в треугольнике $ABD$

$$\angle ABD=2\angle MCF$$

$$\operatorname{tg}\angle ABD=\frac{2\operatorname{tg}\angle MCF}{1-\operatorname{tg}^2\angle MCF }=\frac{4}{3}$$

Поэтому

$$\frac{y}{x}=\frac{4}{3}$$

$$y=\frac{4x}{3}=\frac{2a}{3\sqrt{5}}$$

Рассмотрим треугольники $MFC$ и $OBC$. Они подобны по двум углам (один общий, другой – прямой). Их коэффициент подобия

$$k=\frac{MF}{OB}=\frac{0,5a}{\frac{a}{2\sqrt{5}}}=\sqrt{5}$$

Тогда

$$\frac{S_{OBC}}{S_{MFC}}=\frac{1}{k^2}=0,2$$

Таким образом,

$$ S_{OBC}=\frac{1}{5} S_{MFC}=\frac{1}{5}\cdot \frac{1}{4}a^2=\frac{a^2}{20}$$

Площадь четырехугольника $MFBO$ равна

$$S_{MFBO}= S_{MFC}- S_{OBC}=\frac{1}{4}a^2-\frac{a^2}{20}=0,2a^2$$

Площадь треугольника $KBO$

$$S_{KBO}=\frac{1}{2}xy=0,5\cdot \frac{a}{2\sqrt{5}}\cdot \frac{2a}{3\sqrt{5}}=\frac{a^2}{30}$$

Теперь ищем искомую площадь. Вычитаем из площади квадрата площади голубых треугольников, бежевую площадь и один белый треугольник:

$$S_{iskom}=a^2-2S_{DBC}- S_{MFBO}- S_{KBO}=a^2-0,5a^2-0,2a^2-\frac{a^2}{30}=\frac{4}{15}a^2$$

В ответ запишем величину

$$\frac{ S_{iskom}}{a^2}=\frac{4}{15}$$

Ответ: $\frac{4}{15}$.

Задача 2.

Найти площадь закрашенной части квадрата.

Рисунок к задаче 2

Решение. Белые треугольники равны по гипотенузе и острому углу. Тогда

Из равенства треугольников

Определяем сторону квадрата:

$$a=\sqrt{3^2+5^2}=\sqrt{34}$$

Белые треугольники равны по катетам, их площади

$$S_1=S_2=\frac{3\cdot 5}{2}=7,5$$

Площадь закрашенной части

$$a^2-S_1-S_2=34-15=19$$

Ответ: 19.

Задача 3.

Найти закрашенную площадь.

Рисунок к задаче 3

Решение. Площадь квадрата - 144. Площади треугольников $AEC, DEC, DFC, BFD$, а также треугольников $AOB, BOC, DOC, AOD$ равны 36. $KN$ - средняя линия треугольника $DEC$ и треугольника $DFC$. Поэтому площадь $S_{KNC}=9$, $S_{DKN}=9$, $K$ - середина отрезка $ON$, и значит, площади $S_{DOK}=S_{DKN}=S_{KNC}=S_{OKC}=9$.

Дополнительные обозначения

Треугольники $EPD$ и $OKP$ подобны по двум углам. Коэффициент подобия – 2. Значит,

$$\frac{DP}{PO}=\frac{2}{1}$$

То есть площадь треугольника $DPK$ вдвое больше площади треугольника $OKP$. Иными словами, $S_{DPK}=6$, $S_{OKP}=3$.

Площадь закрашенного четырехугольника, таким образом, равна $2S_{OKP}=6$.

Ответ: 6

 

Задача 4.

Найти отношение площадей красной и синей областей.

Рисунок к задаче 4

Решение. Сразу заметим, что $AC \parallel EF$ по теореме Фалеса, $AP \perp KF$.

Дополнительные обозначения

Также $\triangle KOA =\triangle COE$. Из этого следует, что их площади равны:

$$S_{KOA}=S_{COE}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$$

Площадь треугольника $S_{AKC}=6$, $S_{KAF}=4,5$.

$$S_{KPA}=\frac{1}{2} S_{KAF}=2,25$$

Тогда площадь $OKP$:

$$S_{OKP}= S_{KOA}-S_{KPA}=3-2,25=0,75$$

Ищем синюю площадь:

$$S_{sin}= S_{AKC}- S_{OKP}+S_{KFE}- S_{OKP}=6-0,75+\frac{1}{2}\cdot \sqrt{2}\cdot 3\sqrt{2}-0,75=4,5+3=7,5$$

Отношение красной ($\triangle OKP$) площади к синей равно 0,1.

Ответ: 0,1.