Планиметрия: задачи с фантазией - 4

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1.

Две окружности касаются в точке $R$. Радиусы окружностей равны 10 и 7. На большей окружности выбрана точка $B$, и проведена касательная $BG$ к меньшей окружности ($G$ - точка касания). Чему равна длина $BG$, если $BR=12$?

Рассмотрим треугольники $DFR$  и $BER$. Углы $DRF$ и $BRE$ равны как вертикальные, кроме того, из теоремы об угле между касательной и секущей можно заключить, что равны центральные углы $FDR$ и $BER$. То есть по двум углам треугольники подобны, следовательно, можно составить отношение сходственных сторон для них:

$$\frac{R}{r}=\frac{BR}{RF}$$

Откуда $RF=\frac{BR\cdot r}{R}$.

По теореме о касательной и секущей

$$BG^2=BR\cdot BF$$

$$BG=\sqrt{ BR\cdot BF}=\sqrt{ BR\cdot (BR+RF)}= \sqrt{ BR\cdot (BR+\frac{BR\cdot r}{R})}=BR\sqrt{(1+\frac{r}{R})}$$

$$BG= 12\sqrt{(1+\frac{7}{10})}=12\sqrt{\frac{17}{10}}=12\sqrt{\frac{17}{10}}=1,2\sqrt{170}$$

 

Задача 2.

Дан квадрат $ETRS$. Вершина $B$ треугольника $TBA$ находится на стороне $RS$, а вершина $A$ - на прямой $ES$. Чему равна площадь треугольника $TBA$, если тангенс угла $\angle(BA,RS)=\frac{4}{9}$, $RB=1$, а $ET=6$?

Немного поразмышляв над величиной тангенса, я поняла, что точка может находиться либо между точками $E$ и $S$, либо ниже точки $S$.

Рассмотрим первый вариант.

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{AS}{BS}=\frac{4}{9}$$

$$BS=SR-BR=6-1=5$$

$$AS=\frac{4BS}{9}=\frac{20}{9}$$

Вычисляем площадь треугольника $TBA$, «отрезая» все лишнее.

$$S_{TBA}=S_{ETRS}-S_{BTR}-S_{ETA}-S_{SAB}$$

$$S_{TBA}=ET\cdot ES-\frac{BR\cdot ES}{2}-\frac{EA\cdot ET}{2}-\frac{AS\cdot SB}{2}$$

$$S_{TBA}=6\cdot 6-\frac{1\cdot 6}{2}-\frac{(6-\frac{20}{9})\cdot 6}{2}-\frac{\frac{20}{9}\cdot 5}{2}=36-3-\frac{102}{9}-\frac{50}{9}=16\frac{1}{9}=\frac{145}{9}$$

Теперь рассмотрим второй случай.

Длина отрезка $AS$ не изменилась:

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{AS}{BS}=\frac{4}{9}$$

$$BS=SR-BR=6-1=5$$

$$AS=\frac{4BS}{9}=\frac{20}{9}$$

Вычисляем площадь треугольника $TBA$, «отрезая» все лишнее.

$$S_{TBA}=S_{ETBS}+S_{SAB}-S_{ETA}$$

$$S_{TBA}=\frac{ET+BS}{2}\cdotES+\frac{AS\cdot SB}{2}-\frac{EA\cdot ET}{2}$$

$$S_{TBA}=\frac{6+5}{2}\cdot6+\frac{\frac{20}{9}\cdot 5}{2}-\frac{6+\frac{20}{9}\cdot 6}{2}=33+\frac{50}{9}-\frac{222}{9}=\frac{125}{9}$$

Ответ: $S_{TBA}=\frac{145}{9}$ или $S_{TBA}=\frac{125}{9}$.

 

Задача 3.

На окружности взяты три точки $E$, $K$, и $G$, причем $G$ лежит на меньшей дуге $EK$. Касательные к окружности, проведенные через $E$ и $K$, пересекаются в точке $I$. Касательная, проведенная через $G$, пересекает прямые $IE$ и $IK$ в точках $M$ и $U$. Чему равен $\cos \angle EDK$, где $D$ - центр окружности, если периметр треугольника $MUI$ равен 6, а радиус окружности – 4?

Отрезки $EM$ и $MG$ равны как отрезки касательных, проведенных к окружности из одной точки. Аналогично равны отрезки $GU$ и $UK$. Поэтому $P_{MUI}=EI+IK$, а так как отрезки $EI$ и $IK$ также являются отрезками касательных, проведенных из одной точки, то $EI=IK=\frac{ P_{MUI}}{2}=3$.

Треугольник $DEI$ прямоугольный, и в нем известны оба катета,  тогда его гипотенуза равна 5: $DI=5$. Найдем косинус угла $EDI$:

$$\cos{\angle EDI}=\frac{ED}{DI}=\frac{4}{5}$$

Его синус:

$$\sin{\angle EDI}=\frac{EI}{DI}=\frac{3}{5}$$

Тогда можно найти косинус двойного угла, ведь угол $\angle EDK=2\angle EDI$:

$$\cos{\angle EDK}=\cos^2{\angle EDI}-\sin^2{\angle EDI}=\frac{16}{25}-\frac{9}{25}=\frac{7}{25}$$

Ответ: $\cos{\angle EDK}=\frac{7}{25}$.

 

Задача 4.

Даны две равные окружности $\Omega$ и $\Sigma$, касающиеся друг друга внешним образом. Каждая из них касается извне третьей окружности $B$ в точках $C$ и $F$. Чему равен радиус окружности $B$, если радиус окружности $\Sigma$ равен 4 и $CF=1$?

Очевидно, что радиусы $DC$ и $CK$ лежат на одной прямой, ведь оба они перпендикулярны одной и той же касательной (на рисунке не показана, но могла бы быть проведена через точку $C$). Аналогично, радиусы $KF$ и $FH$ также лежат на одной  прямой. Так как угол $CKF$ для треугольников $CKF$ и $DKH$ общий и оба треугольника равнобедренные, то они подобны. Найдем коэффициент подобия:

$$k=\frac{2DG}{CF}=8$$

Тогда из отношения сходственных сторон для треугольников имеем:

$$k=\frac{r+4}{r}$$

Здесь $r$ - радиус малой окружности.

$$r+4=kr$$

$$7r=4$$

$$r=\frac{4}{7}$$

Ответ: $r=\frac{4}{7}$

 

Задача 5.

Окружность, центр $E$ которой находится на прямой $BQ$, касается прямой $BO$ в точке $B$ и касается прямой $OQ$ в точке $L$. Чему равна длина $EQ$, если $BO=1$ и $BQ=\frac{4}{3}$?

Понятно, что центр окружности $E$ на может лежать на прямой $BQ$ справа от точки $Q$, потому что в таком случае не сможет касаться прямой $OQ$. Тогда точка $E$ может располагаться между точками $B$ и $Q$, а также левее $B$. Следовательно, возможны два варианта решения. Рассмотрим первый рисунок.

Отрезки $BO$ и $OL$ равны, как отрезки касательных, проведенных из одной точки. Длину $OQ$ можно найти по теореме Пифагора:

$$OQ^2=BO^2+BQ^2=1^2+\left(\frac{4}{3}\right)^2=1=\frac{16}{9}=\frac{25}{9}$$

$$OQ=\frac{5}{3}$$

Тогда $LQ=OQ-OL=\frac{2}{3}$.

Теперь воспользуемся подобием треугольников $BOQ$ и $ELQ$ (оба прямоугольные и имеют общий острый угол). Запишем отношение сходственных сторон для них:

$$\frac{BO}{EL}=\frac{BQ}{LQ}$$

Откуда

$$EL=\frac{BO\cdot LQ}{BQ}=\frac{\frac{2}{3}}{\frac{4}{3}}=\frac{1}{2}$$

Определим длину отрезка $EQ$ в этом случае:

$$EQ=BQ-BE=BQ-LE=\frac{4}{3}-\frac{1}{2}=\frac{5}{6}$$

Теперь рассмотрим второй случай.

В этом случае длина отрезка $OQ=\frac{5}{3}$, как и в первом варианте  решения, а длина $LQ=OQ+OL=OQ+BO=\frac{5}{3}+1=\frac{8}{3}$.

Снова воспользуемся подобием треугольников $BOQ$ и $ELQ$. Запишем отношение сходственных сторон для них:

$$\frac{ EL }{ BO }=\frac{ LQ }{ BQ }$$

Откуда

$$EL=\frac{BO\cdot LQ}{BQ}=\frac{\frac{8}{3}}{\frac{4}{3}}=2$$

Определим длину отрезка $EQ$ в этом случае:

$$EQ=BQ+BE=BQ+LE=\frac{4}{3}+2=\frac{10}{3}$$

Ответ: $EQ=\frac{5}{6}$ или $EQ=\frac{10}{3}$.