Продолжаю серию статей «Планиметрия. Задачи с фантазией». Это 10 статья этой серии, в ней всего две задачи. Попробуйте решить их самостоятельно. Для этого, действительно, понадобится фантазия, но совсем немного.
Задача 1.
Четырехугольник $VHIG$ вписан в окружность с центром $B$, причем $HG$ - ее диаметр. Диагонали $VI$ и $HG$ пересекаются в точке $F$. Известно, что угол $\angle VFH$ равен $2\operatorname{arctg} \sqrt{5}$, $HG=20$, $HF=10-4\sqrt{5}$. Чему равен радиус окружности, которая касается извне данной окружности, а также касается обоих лучей $FV, FH$?
Решение. Показать
К задаче 1
Определим длины отрезков. Так как $HG=20$, то радиус окружности равен 10. $FB=4\sqrt{5}$.
Для прямоугольного треугольника $OLB$ запишем теорему Пифагора:
$$OL^2+LB^2=OB^2$$
$$OB=R+r$$
$$R^2+LB^2=(R+r)^2$$
Раскрываем скобки:
$$ R^2+LB^2=R^2+2Rr+r^2$$
$$LB^2=2Rr+r^2$$
Осталось найти $LB$. «Поиграем» для этого с углами.
$$\operatorname{tg}\frac{\angle VFH }{2}=\sqrt{5}$$
$$\operatorname{tg^2}\frac{\angle VFH }{2}=\frac{1-\cos\angle VFH }{1+\cos\angle VFH }$$
То есть
$$\frac{1-\cos\angle VFH }{1+\cos\angle VFH }=5$$
Откуда найдем $\cos\angle VFH$:
$$\cos\angle VFH=-\frac{2}{3}$$
Так как сумма углов $VFH$ и $LON$ равна $180^{\circ}$, то
$$\cos\angle LON=\frac{2}{3}$$
Найдем косинус половинки этого угла:
$$\cos^2\frac{\angle LON}{2}=\frac{1+\cos\angle LON}{2}=\frac{5}{6}$$
$$\sin^2\frac{\angle LON}{2}=\frac{1}{6}$$
Откуда определяем тангенс $\frac{\angle LON}{2}$:
$$\operatorname{tg}\frac{\angle LON }{2}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
Тангенс $\frac{\angle LON }{2}$, с другой стороны, равен:
$$\operatorname{tg}\frac{\angle LON }{2}=\frac{LF}{OL}=\frac{1}{\sqrt{5}}$$
Отсюда
$$LF= \frac{ OL}{\sqrt{5}}=\frac{ R}{\sqrt{5}}$$
Тогда вернемся к нашей теореме Пифагора:
$$LB^2=2Rr+r^2$$
$$LB=LF+FB=\frac{ R}{\sqrt{5}}+4\sqrt{5}$$
$$(\frac{ R}{\sqrt{5}}+4\sqrt{5})^2=20R+100$$
$$\frac{ R^2}{5}+8R+80-20R-100=0$$
$$R^2-60R-100=0$$
Корень
$$R=\frac{60 +\sqrt{4000}}{2}=30+10\sqrt{10}$$
Ответ: $R=30+10\sqrt{10}$.
Задача 2.
Треугольник $JHM$ вписан в окружность $\Alpha$. Касательная к этой окружности в точке $H$ и прямая $JM$ пересекаются в точке $D$. Через точки $D$ и $J$ проведена окружность, которая касается окружности $\Alpha$ и пересекает прямую $DH$ в точке $K$. Чему равна длина $KJ$, если $DJ=32$, $HM=15$, а $DH=40$?
Решение. Показать
По теореме о касательных и секущих запишем:
$$DH^2=DM\cdot DJ$$
Откуда
$$DM=\frac{ DH^2}{ DJ }=\frac{1600}{32}=50$$
Теперь понятно, что касание – внешнее, и коснутся окружности в точке $J$. Изобразим это:
К задаче 2
Запишем теорему косинусов для треугольника $DHM$:
$$HM^2=DH^2+DM^2-2\cdotDH\cdotDM\cdot \cos D$$
$$\cos D=\frac{ HM^2-DH^2-DM^2}{-2\cdotDH\cdotDM }=\frac{ 225-1600-2500}{-2\cdot40\cdot50 }=0,96875$$
Запишем теорему косинусов для треугольника $DHJ$:
$$HJ^2=DH^2+DJ^2-2\cdotDH\cdotDJ\cdot \cos D$$
$$HJ=\sqrt{DH^2+DJ^2-2\cdotDH\cdotDJ\cdot \cos D}=\sqrt{40^2+32^2-2\cdot40\cdot32\cdot \cos D}=12$$
Так как касание окружностей происходит в точке $J$, то $DJ$ - диаметр второй окружности. Поэтому угол $DKJ$ - вписанный, опирающийся на диаметр, то есть прямой. Иными словами, $KJ$ - высота треугольника $DHJ$. Так как нам известны его стороны, то можно найти его площадь по формуле Герона:
$$S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}= \sqrt{42(42-40)(42-12)(42-32)}=60\sqrt{7}$$
С другой стороны, площадь этого треугольника равна $$S=\frac{DH\cdotKJ}{2}$$
Откуда
$$KJ=\frac{2S}{DH}=\frac{120\sqrt{7}}{40}=3\sqrt{7}$$
Ответ: $KJ=3\sqrt{7}$.
Простая физика