Планиметрия: задачи с фантазией

Для С4 эти задачи откровенно слабоваты. Но ведь бывает, что и простые попадаются. Потом, их можно использовать как вводные, разминочные задачи. Мне они понравились тем, что во многих может быть два варианта ответа.

Задача 1.

Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает ее в точках $K$ и $F$, а большую – в точках $U$ и $H$, так, что $K$ лежит между $U$ и $F$. Чему равно отношение радиуса большей окружности к радиусу меньшей окружности, если $UK:KF:FH=1:2:5$?

Решение:

Отрезок $FK$ - диаметр маленькой окружности. То есть $FK=2r$. Тогда $FH=5r$, а $UK=r$. Также $UO=2r$, а $OH=6r$.

Отрезок $HG=2R$, $MO=r$, следовательно, $OG=2R-r$.

По свойству отрезков секущих окружности запишем:

$$OG \cdot OM=UO \cdot OH$$

$$(2R-r)r=2r \cdot6r$$

$$2Rr-r^2=12r^2$$

$$2Rr=13r^2$$

Разделим на $2r^2$, тогда:

$$\frac{R}{r}=6,5$$

Ответ: $\frac{R}{r}=6,5$

 

Задача 2. Точка касания двух окружностей является вершиной равностороннего треугольника со стороной 18.  Две другие вершины этого треугольника расположены на этих окружностях (на каждой окружности по вершине). Радиус одной из окружностей равен 12. Чему равен радиус второй окружности?

Окружности могут касаться как внешним, так и внутренним образом. Поэтому задача может иметь два решения.

Рассмотрим случай внешнего касания.

Центры окружностей и точка касания лежат на одной прямой. То есть сумма углов $\alpha$, $\beta$ и угла при вершине треугольника $60^{\circ}$ образует $180^{\circ}$. Угол $\alpha$ (вернее, его косинус) можно определить:

$$\cos {\alpha}=\frac{OB}{AB}=\frac{OB}{r}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$

Угол $\beta$ равен разности $180^{\circ}-60^{\circ}-\alpha$.  Следовательно, его косинус равен $\cos{\beta}=-\cos{60^{\circ}+\alpha}$. Определим косинус суммы углов $60^{\circ}+\alpha$:

$$\cos{60^{\circ}+\alpha}=\cos{60^{\circ}}\cdot{\cos{\alpha}}-\sin{\alpha}\cdot\sin{60^{\circ}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}-\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}-\frac{\sqrt{21}}{8}=\frac{3-\sqrt{21}}{8}$$

Тогда косинус смежного угла будет равен:

$$\cos{\beta}=\frac{\sqrt{21}-3}{8}$$

С другой стороны,

$$\cos{\beta}=\frac{NB}{BC}=\frac{NB}{R}$$

Тогда радиус большей окружности равен:

$$R=\frac{NB}{\cos{\beta}}=\frac{72}{\sqrt{21}-3}=\frac{72(\sqrt{21}+3)}{(\sqrt{21}-3)( \sqrt{21}-3)}= \frac{72(\sqrt{21}+3)}{12}=6(\sqrt{21}+3)$$

Рассмотрим случай внутреннего касания.

При этом  две вершины треугольника должны лежать на большей окружности, а сторона между ними - хорда этой окружности. Определим косинус угла $\alpha$:

$$\cos {\alpha}=\frac{HP}{OH}=\frac{HP}{r}=\frac{9}{12}=\frac{3}{4}$$

Рассмотрим  теперь треугольник $HIN$: угол $NHI$ в этом треугольнике равен $\angle NHI=60^{\circ}-\alpha$. Найдем его синус:

$$\cos{60^{\circ}-\alpha}=\cos{60^{\circ}}\cdot{\cos{\alpha}}+\sin{\alpha}\cdot\sin{60^{\circ}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{3}{4}+\frac{\sqrt{7}}{4}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3}{8}+\frac{\sqrt{21}}{8}=\frac{3+\sqrt{21}}{8}$$

В треугольнике $HIN$ - прямоугольном – синус угла $\angle INH$ равен косинусу угла $\angle NHI$. Кроме того,

$$\sin{\angle NHI}=\frac{HI}{R}$$

Тогда искомый радиус:

$$R=\frac{HI}{\sin{\angle NHI}}=\frac{72}{3+\sqrt{21}}$$

Таким образом, имеем два ответа: внешнее касание: $R=6(\sqrt{21}+3)$, внутреннее касание: $R=\frac{72}{3+\sqrt{21}}$

 

 

 

Задача 3.

Задан четырехугольник $DMTK$. Чему равна длина $TK$, если $\angle MDK=\angle TKD=60^{\circ}$, $\angle MKD=\angle TDM$, $DK=90$, а $DM=26$?

Решение:

Так как углы при основании равны, и оба по $60^{\circ}$, то четырехугольник так и хочется достроить до правильного треугольника $DKN$ со стороной 90. Тогда $MN=90-DM=90-26=64$.

Треугольники $DMK$ и $DNT$ равны по 2-му признаку равенства, поэтому $NT=26$, следовательно, $TK=64$.

Ответ: $TK=64$.

 

Задача 4.

Две окружности радиусов 10 и 8 касаются внешним образом. Прямая, касающаяся меньшей из окружностей в точке $W$, пересекает большую в точках $G$ и $I$, причем $WG=GI$. Чему равна длина $WI$?

Решение:

Будем рассматривать точку $W$ как точку, из которой исходят две секущие большей окружности: $WI$ и $WT$. Тогда по свойству секущих запишем:

$$WG \cdot WI=WU \cdot WT$$

Обозначим длину искомого отрезка за $2x$: $WI=2x$, тогда $WG=GI=x$.

Проведем отрезок $RV$ к середине хорды $GI$, тогда $RV \perp GI$ и треугольник $WRV$ - прямоугольный. $QW \perp WV$ как радиус, проведенный в точку касания. Тогда $RV \parallel QW$, и $QWRV$ - прямоугольник. Тогда $WR^2=QW^2+QR^2$

$$WR^2=QW^2+QR^2=18^2+8^2=388$$

$$WR=\sqrt{388}$$

Найдем $WU$:

$$WU=WR-R=\sqrt{388}-10$$

Теперь можно отыскать $x$:

$$WG \cdot WI=WU \cdot WT$$

$$WT=WR+R=\sqrt{388}+10$$

$$x \cdot 2x=(\sqrt{388}-10) \cdot (\sqrt{388}+10)$$

$$2x^2=388-100$$

$$x^2=144$$

$$x=12$$

Тогда искомый отрезок

$$WI=2x=24$$

Ответ: 24

Задача 5.

Из точки $U$ проведены к окружности с центром $V$ две касательные: $UO$ и $UQ$ ($O$ и $Q$ - точки касания). Отрезок $OQ$ пересекается с отрезком $UV$ в точке $E$, окружность пересекается с отрезком $UV$ в точке $G$. Чему равно отношение $UG:GV$, если $VE:VU=\frac{7}{10}$?

Решение:

$$\frac{UG}{GV}=\frac{UV-R}{R}=\frac{UV}{R}-1$$

То есть нам нужно найти отношение $\frac{UV}{R}$, или наоборот, $\frac{R}{UV}$.

Для прямоугольного треугольника $VQE$ запишем:

$$QE^2=VQ^2-VE^2$$

$$ QE^2=R^2-\left(\frac{7UV}{10}\right)^2$$

$$ QE^2=R^2-0,49UV^2$$

С другой стороны, в треугольнике $VQU$, который является прямоугольным, можно записать:

$$ UQ^2=UV^2-VQ^2=UV^2-R^2$$

А в треугольнике $QEU$

$$QE^2=UQ^2-EU^2$$

Отрезок $EU$, очевидно, равен $EU=0,3UV$, поэтому

$$QE^2=UQ^2-0,09UV^2$$

Или, подставив $ UQ^2$, получим:

$$QE^2= UV^2-R^2-0, 09UV^2=0,91 UV^2-R^2$$

Приравниваем два выражения для $QE^2$:

$$ R^2-0,49UV^2=0,91 UV^2-R^2$$

$$2R^2=1,4UV^2$$

Откуда

$$\frac{R}{UV}=\sqrt{\frac{7}{10}}$$

Искомое в задаче отношение тогда равно:

$$\frac{UG}{GV}=\frac{UV}{R}-1=\sqrt{\frac{10}{7}}-1$$

Или же, результат можно записать и так:

$$\frac{UG}{GV}=\frac{1}{7}\sqrt{70}-1$$

Ответ: $\frac{UG}{GV}=\frac{1}{7}\sqrt{70}-1$

 

 

Задача 6. Некоторая прямая пересекает стороны $JC$ и $SC$ треугольника $SJC$  в точках $Q$ и $O$ соответственно и отсекает от него подобный ему треугольник. Оказалось, что $JO$ - высота треугольника $SJC$. Чему равна длина $QO$, если $JC=7$, $SC=6$, а $SJ=5$?

Решение:

Найдем коэффициент подобия треугольников. Для этого определим площадь треугольника $SJC$   по формуле Герона с тем, чтобы определить в дальнейшем его высоту $JO$.

$$S_{SJC}=\sqrt{p(p-SJ)(p-JC)(p-SC)}$$

$$p=\frac{ SJ+JC+SC }{2}=\frac{5+7+6}{2}=9$$

$$S_{SJC}=\sqrt{9(9-5)(9-7)(9-6)}=6\sqrt{6}$$

Определим длину отрезка $JO$ - высоту треугольника:

$$JO=\frac{2 S_{SJC}}{SC}=\frac{12\sqrt{6}}{6}=2\sqrt{6}$$

Теперь по теореме Пифагора легко определить длину отрезка $SO$:

$$SO^2=SJ^2-JO^2=5^2-(2\sqrt{6})^2=1$$

Тогда точка O разделит отрезок $SC$ на два: $SO=1$ и $OC=6$.

Определяем коэффициент подобия: если $OQ$ параллельна $SJ$, то

$$k=\frac{SC}{OC}=\frac{6}{5}$$

Тогда $OQ$ меньше $SJ$ в $k$ раз и равна:

$$OQ=\frac{SJ}{k}=\frac{25}{6}$$

Но если $OQ$ не параллельна $SJ$, тогда сходственными сторонами являются $OC$ и $JC$, и коэффициент подобия равен:

$$k=\frac{JC}{OC}=\frac{7}{5}$$

Тогда $OQ$ меньше $SJ$ в $k$ раз и равна:

$$OQ=\frac{SJ}{k}=\frac{25}{7}$$

Ответ: либо $\frac{25}{7}$, либо $\frac{25}{6}$

 

Задача 7.

Чему равна площадь трапеции с диагоналями $\sqrt{73}$ и $\sqrt{58}$ и высотой 3?

Изобразим трапецию.

Как видно из рисунка, вариантов изображения - два, и, следовательно, два варианта решения.

Первое изображение, пусть $BD=\sqrt{73}$, $AC=\sqrt{58}$. Воспользуемся теоремой Пифагора и найдем $AI$:

$$AI=\sqrt{AC^2-h^2}=\sqrt{58-9}=\sqrt{49}=7$$

также с помощью теоремы Пифагора найдем $BM$:

$$BM=\sqrt{BD^2-h^2}=\sqrt{73-9}=\sqrt{64}=8$$

Определяем среднюю линию:

$$L_1=\frac{BC+AD}{2}==\frac{BM-CM+AI+CM}{2}=\frac{AI+BM}{2}=\frac{7+8}{2}=7,5$$

Площадь трапеции в этом случае:

$$S_1=L_1\cdot h=7,5\cdot3=22,5$$

Второй вариант изображения. Теперь пусть $EG=\sqrt{73}$, а $FH=\sqrt{58}$. Тогда

$$EN=8$$

$$NJ=7$$

Определяем среднюю линию:

$$L_2=\frac{EH+FG}{2}==\frac{EJ-HJ+EN-EJ}{2}=\frac{EN-HJ}{2}=\frac{8-7}{2}=0,5$$

Площадь трапеции в этом случае:

$$S_2=L_2\cdot h=0,5\cdot3=1,5$$

Ответ: 22,5 или 1,5