Окружность и четверть окружности

Задача из группы «Math-Досуг»

Рисунок к задаче и, собственно, сама задача

Делаем дополнительные построения:

Дополнительные построения

У нас образовались два прямоугольных треугольника (да еще и подобных) - $ABC$ и $ACD$. Обозначим $BC=x$, $CD=DF=y$, $AB=R$. Тогда по теореме об отрезках гипотенузы

$$AC=\sqrt{xy}$$

По теореме о касательной и секущей

$$AC\cdot AH=AF^2$$

Или

$$\sqrt{xy}\cdot R=2~~~~~~~~~~~~~~~~(1)$$

Из подобия $ABC$ и $ACD$:

$$\frac{y}{\sqrt{xy}}=\frac{\sqrt{2}-y}{R}$$

Подставим (1):

$$\frac{yR}{2}=\frac{\sqrt{2}-y}{R}$$

Или

$$2\sqrt{2}-2y=yR^2$$

Откуда

$$y=\frac{2\sqrt{2}}{R^2+2}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(2)$$

По теореме Пифагора для $ABC$:

$$BD^2=AB^2+AD^2$$

Или

$$(x+y)^2=R^2+(\sqrt{2}-y)^2$$

$$x^2+2xy+y^2=R^2+2-2\sqrt{2}y+y^2$$

Или

$$x^2+xy+xy= R^2+2-2\sqrt{2}y~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(3)$$

По теореме Пифагора для $ABC$:

$$AB^2=AC^2+BC^2$$

Или

$$R^2=xy+x^2$$

Подставим последнее в (3):

$$R^2+xy= R^2+2-2\sqrt{2}y$$

$$ xy= 2-2\sqrt{2}y$$

$$y=\frac{2}{x+2\sqrt{2}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~(4)$$

Используем (2):

$$\frac{2\sqrt{2}}{R^2+2}=\frac{2}{x+2\sqrt{2}}$$

Сократим на 2:

$$\frac{\sqrt{2}}{R^2+2}=\frac{1}{x+2\sqrt{2}}$$

$$\sqrt{2}x+4=R^2+2$$

$$\sqrt{2}x+2=R^2$$

$$x=\frac{ R^2-2}{\sqrt{2}}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~(5)$$

Из (4)

$$ x+2\sqrt{2}=\frac{2}{y}$$

Подставим (5):

$$\frac{ R^2-2}{\sqrt{2}}+2\sqrt{2}=\frac{2}{y}$$

$$\frac{ R^2+2}{2\sqrt{2}}=\frac{1}{y}$$

$$y=\frac{2\sqrt{2}}{ R^2+2}$$

Наконец, возводим (1) в квадрат и подставляем полученные $x$ и $y$:

$$xy=\frac{4}{R^2}$$

$$\frac{R^2-2}{R^2+2}=\frac{2}{R^2}$$

Ура! Наконец-то квадратное!

$$(R^2-2)R^2=2R^2+4$$

$$R^4-4R^2-4=0$$

$$R^2=\frac{4+4\sqrt{2}}{2}=2+2\sqrt{2}$$

Из (5)

$$x=\frac{R^2}{\sqrt{2}}-\sqrt{2}=\sqrt{2}+2-\sqrt{2}=2$$

Ответ: 2.