Мини-задачи по планиметрии

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Понятно, что сумма площадей рыжего и зеленого треугольников равна 3. Но диагональ делит угол квадрата на два угла по $45^{\circ}$!

Поэтому

$$\frac{S_{zel}}{S_{orang}}=\frac{0,5\cdot 3\cdot y\cdot \sin 45^{\circ}}{0,5\cdot 2\cdot y\cdot \sin 45^{\circ}}=\frac{3}{2}$$

Значит, площадь зеленого $\frac{3}{5}\cdot 3=1,8$.

Ответ: 1,8.

Задача 2.

Дан прямоугольник. Найти желтую площадь.

Рисунок к задаче 2

Решение.

Зеленый и голубой треугольники подобны. Коэффициент подобия равен

$$k=\sqrt{\frac{S_{golub}}{S_{zelen}}}=\sqrt{\frac{8}{2}}=2$$

Поэтому стороны будут относиться как $2:1$:

Дополнительное мини-построение

Тогда площадь $S_{OBC}$ равна 4, так как его основание $2x$, а у зеленого треугольника - $x$ и оба имеют общую высоту. Таким образом,  площадь  $S_{ABC}=12$, а это половина площади прямоугольника. Желтая площадь будет равна

$$S_{gelt}=S- S_{golub}- S_{zelen}- S_{begev}=24-8-2-6=8$$

Ответ: 8

Задача 3.

Дан параллелограмм. Найти его площадь.

Рисунок к задаче 3

Решение 1. Треугольники $BKH$ и $AKD$ подобны, коэффициент подобия

$$k=\frac{AD}{BH}=2$$

Поэтому, если принять площадь треугольника $S_{BKH}=x$, то $S_{AKD}=4x$.

Рассуждения и выводы

Треугольники $KHD$ и $FED$ подобны, так как $KH \parallel FE$. Также $HE=ED$ (из равенства треугольников $\triangle GED=\triangle HEC$). Поэтому коэффициент подобия треугольников $KHD$ и $FED$ равен 2, и площадь $S_{KHD}=4\cdot 6=24$. Отсюда площадь $S_{ABK}=24$.

Площадь треугольника $S_{ABD}=4x+ S_{ABK}$ - половина площади параллелограмма. Площадь параллелограмма тогда, с одной стороны, $8x+48$. Но площадь параллелограмма равна также четырем площадям треугольника $BHD$ - то есть $4(x+24)$.

Тогда, приравнивая два выражения, имеем

$$8x+48=4x+96$$

$$4x=48$$

$$x=12$$

Площадь параллелограмма $S=8\cdot 12+48=96+48=144$.

Ответ: 144.

Решение 2. Обратим внимание на треугольник $\triangle GHD$.

Другое решение

Ранее показано, что $E$ - середина отрезка $HD$. А значит, $GE$ - медиана этого треугольника, а $F$ - точка пересечения медиан. А по свойству медиан они делят треугольник на шесть равновеликих, и таким образом

$$S_{\triangle FED}=\frac{1}{6}S_{\triangle GHD}$$

Так как площадь $\triangle GHD$ составляет одну четверть площади параллелограмма, то вся его площадь равна $6\cdot 6\cdot 4=144$.

Ответ: 144

Задача 4.

Найти отношение желтой площади к зеленой.

Рисунок к задаче 4

Решение 1.

Рассуждения об отдельных площадях

$$S_{ADC}=\frac{3xy}{2}$$

$$S_{ABE}=3xy$$

С другой стороны,

$$S_{ADC}=3S_1+S_2$$

$$S_{ABE}=3S_2+2S_1$$

То есть

$$3S_{ADC}=9S_1+3S_2$$

Теперь вычтем из этого уравнения предыдущее:

$$3S_{ADC}- S_{ABE}=4,5xy-3xy=7S_1$$

Откуда

$$S_1=\frac{3}{14}xy$$

А

$$S_2= S_{ADC}-3S_1=1,5xy-\frac{9}{14}xy=\frac{6}{7}xy$$

Определяем отношение площадей:

$$\frac{S_1}{2S_2}=\frac{\frac{3}{14}xy }{\frac{12}{7}xy }=\frac{1}{8}$$

Ответ: 0,125

Решение 2. Запишем теорему Менелая для треугольника $\triangle BAE$ и секущей $DC$:

Другое решение

$$\frac{BD}{DA} \cdot \frac{AC}{CE} \cdot \frac{EO}{OB}=1$$

$$\frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{EO}{OB}=1$$

$$\frac{EO}{OB}=\frac{1}{6}$$

Дополнительные обозначения и выводы

Пусть тогда площадь треугольника $\triangle DOE$ равна $S$, а площадь треугольника $\triangle BOD$ - $6S$, ведь у них общая высота, то есть площади относятся так же, как основания. Тогда площадь $S_{\triangle BDE}=7S$, а это означает, что $S_{\triangle DAE}=3,5S$ - так как его основание вдвое меньше основания $\triangle BDE$. Следовательно, площадь

$$S_{\triangle CDE}=\frac{ S_{DAE}}{2} =\frac{3,5S}{2}=1,75S$$

По той же причине – основание $\triangle CDE$ в два раза меньше основания $\triangle DAE$.

Определяем площадь желтого треугольника - $0,75S$. Отношение к зеленой площади составит

$$\frac{0,75S}{6S}=\frac{1}{8}$$

Ответ: 0,125.