Любопытные задачки по геометрии, для прокачки мозгов на досуге

Задача 1.

Найти радиус окружности по данным рисунка.

 Рисунок к первой задаче

 Решение. Перерисуем картинку иначе:

Перерисованная иначе картинка

Тогда фиолетовая линия, совершенно очевидно, $r\sqrt{2}$, и она служит новому треугольнику гипотенузой. Записываем теорему Пифагора:

$$(12+2)^2+2^2=2r^2$$

$$r^2=100$$

$$r=10$$

Ответ: $r=10$.

 

Задача 2.

Определить длину розового отрезка $x$ по данным чертежа.

Рисунок к задаче 2

Решение. Рассматривая рисунок, видим, что радиус окружности равен 5. Уже что-то. Дополним рисунок:

Дополнения к рисунку задачи 2

Треугольник АDС – прямоугольный, отрезок $OC=5$, отрезок $FC=6$. Но треугольник FDC – равнобедренный (так как в нем медиана является высотой)! А значит, $DC=FC=6$. Тогда треугольник $ADC$  - египетский (6,8,10). В нем гипотенуза $AC=10$, значит, катет $AD=8$. В египетском треугольнике тригонометрические функции углов равны 0,6 или 0,8. В частности, в треугольнике ADC $\sin DAC=0,6$, а $\cos DAC=0,8$. Найдем его площадь:

$$S_{DAC}=\frac{1}{2} AC\cdot AD \sin DAC=0,5\cdot 10\cdot 8\cdot0,6=24$$

Его площадь можно найти и иначе, проведя высоту из вершины $D$. Зная площадь, получаем длину этой высоты:

$$ S_{DAC}=\frac{1}{2} AC\cdot DH=24$$

$$DH=\frac{ S_{DAC}}{\frac{1}{2} AC }=\frac{24}{5}=4,8$$

Теперь можно найти длину отрезка $AH$:

$$AH^2=AD^2-DH^2=8^2-4,8^2=(8-4,8)(8+4,8)=3,2\cdot 12,8$$

$$AH=\sqrt{\frac{32\cdot 128}{100}}=6,4$$

Следовательно, длина отрезка $OH=1,4$, а $FH=2,4$. Можем найти длину отрезка $FD$:

$$FD^2=FH^2+DH^2=2,4^2+4,8^2=28,8=\frac{2\cdot 144}{10}$$

$$FD=\frac{12}{\sqrt{5}}=2,4\sqrt{5}$$

$$KF=1,2\sqrt{5}$$

Треугольники $KFC$ и $ABC$ подобны (оба прямоугольные, с общим острым углом). Составим соотношение сходственных сторон:

$$\frac{AB}{KF}=\frac{AC}{FC}$$

$$\frac{AB}{1,2\sqrt{5}}=\frac{10}{6}$$

$$AB=2\sqrt{5}$$

Тогда $BC$:

$$BC=\sqrt{AC^2-AB^2}=\sqrt{100-20}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$$

Ответ: $x=BC=4\sqrt{5}$

Задача 3.

Найти длину отрезка $MN$ по данным рисунка.

Рисунок к задаче 3

 

$$(t+32)^2+(7+t+7+32)^2=70^2$$

$$t^2+64t+32^2+t^2+92t+46^2=70^2$$

$$2t^2+156t+32^2+46^2-70^2=0$$

$$t^2+78t+880=0$$

$$t=10$$

Тогда стороны треугольника $BMN$ образуют Пифагорову тройку: 10, 24, 26. И длина отрезка $MN=26$.

Ответ: 26

 

 

Задача 4.

По данным рисунка найти $x$.

 

Рисунок к задаче 4

Решение. Пусть сторона шестиугольника равна $a$. Тогда отрезок $AC=a\sqrt{3}$. Достроим треугольник $ADO$ - он подобен треугольнику $FOE$ (так как $AD$ и $FE$ параллельны).

Дополнения к рисунку

Таким образом, угол $ \angle OEF=45^{\circ}$, а следовательно, треугольник $ACE$ - прямоугольный равнобедренный и отрезок $CE=a\sqrt{3}$, а отрезок

$$FE=CE-CF= a\sqrt{3}-a$$

Теперь рассмотрим внимательнее треугольник $FOE$. В нем угол $\angle E=45^{\circ}$, а угол $\angle F=60^{\circ}$. По теореме синусов для него

$$\frac{FO}{\sin E}=\frac{OE}{\sin F}$$

$$\frac{2}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{OE}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$$

Откуда

$$OE=\sqrt{6}$$

Опустим высоту из вершины $O$ на $FE$. Она разделит треугольник на два: один прямоугольный $OFH$ с углом $60^{\circ}$, следовательно, отрезок $FH$ вдвое короче, чем $FO$, и равен 1. Второй треугольник – прямоугольный равнобедренный. В нем

$$OH=HE=OE\cdot \cos 45^{\circ}=\sqrt{6}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{3}$$

Тогда $FE=FH+HE=1+\sqrt{3}$. Значит,

$$FE=CE-CF= a\sqrt{3}-a=1+\sqrt{3}$$

Откуда

$$a=\frac{1+\sqrt{3}}{\sqrt{3}-1}=\frac{(1+\sqrt{3})(\sqrt{3}+1)}{ (\sqrt{3}-1)( \sqrt{3}+1)}=\frac{4+2\sqrt{3}}{3-1}=2+\sqrt{3}$$

Откуда сразу находим, что $x=\sqrt{3}$.

Ответ: $x=\sqrt{3}$.