Красивая планиметрическая задача

В треугольнике JVH на стороне VH выбрана точка M, а на стороне JV – точка N.  Отрезки JM и HN пересекаются в точке C. Чему равна площадь треугольника VNM, если VM:HM=2:1, площадь треугольника JVH равна 12, а площадь треугольника JNC равна 3?

Задача о площади

Решение: так как VM:HM=2:1, то $\frac{S_{JVM}}{S_{JMH}}=\frac{2}{1}$. Тогда $ S_{JVM}=8$, $ S_{JMH}=4$. Площадь четырехугольника $S_{NVMC}=5$. Отрезок NH разделен точкой С в некотором отношении, которое нам неизвестно. Однако, если записать это отношение $\frac{CH}{NC}=k$, то можно записать отношение площадей $\frac{S_{JCH}}{S_{JNC}}=k$, а также $\frac{S_{CMH}}{S_{CMN}}=k$. Обозначим $S_{CMN}=a$, тогда $S_{CMH}=ka$, а $S_{JCH}=3k$.

Известна площадь треугольника $JMH$: $S_{JMH}=3k+ka=4$, тогда $k=\frac{4}{a+3}$

Поскольку $\frac{S_{NVM}}{S_{NMH}}=\frac{VM}{MH}=\frac{2}{1}$, то

$$\frac{5-a}{2}=a+ka$$

Подставим ранее полученное значение $k$:

$$\frac{5-a}{2}=a(1+k)$$

$$\frac{5-a}{2}=a(1+\frac{4}{a+3})$$

$$\frac{5-a}{2}=\frac{(a+3)a+4a}{a+3})$$

$$3a^2+12a-15=0$$

$$a=1$$

Тогда определяем площадь треугольника $ S_{NVM}=5-a=5-1=4$

Ответ: 4