Задача. Дан треугольник $ABC$ со сторонами $AB = 15, AC = 9$ и $BC = 12$. На стороне $BC$ взята точка $D$, а на отрезке $AD$ — точка $O$, причем $CD = 4$ и$ AO = 3OD$. Окружность с центром $O$ проходит через точку $C$. Найдите расстояние от точки $C$ до точки пересечения этой окружности с прямой $AB$.
Решение.
Рассмотрим наш треугольник и заметим, что он прямоугольный, так как подчиняется теореме Пифагора (угол $C$ - прямой):
Рисунок 1
Проведем $OF \parallel AC$. Тогда треугольник $ODF$ подобен треугольнику $ADC$ с коэффициентом $1:4$ (по условию $OD=\frac{1}{4}AD$).
Рисунок 2
Тогда
$$\frac{DF}{DC}=\frac{1}{4}$$
$$DF=1$$
$$FC=3$$
Проведем $OI \perp AC$.
$$\frac{IC}{AC}=\frac{1}{4}$$
$$IC=2,25$$
Проведем радиусы $OC, OH, OG$.
Рисунок 3
Треугольник $COG$ - равнобедренный. Кроме того, $OF$ - его высота, а следовательно, и медиана, поэтому
$$FC=FG=3$$
Тогда
$$CG=6$$
Треугольник $HOC$ - равнобедренный. Проведем $OI \perp AC$. Тогда $OI$ - также и медиана, поэтому
$$HI=IC=2,25$$
А
$$HC=4,5$$
Мы получили, что точка $G$ - середина $BC$, а точка $H$ - середина $AC$. Таким образом, $GH=7,5$ - средняя линия треугольника $ABC$ и диаметр окружности. Радиус окружности будет равен $R=3,75$.
Окружность пересекает $AB$ дважды, поэтому нам придется искать два расстояния - $CJ$ и $CL$.
Проведем радиусы $OJ$ и $OL$. Треугольник $JOL$ - равнобедренный. Длина отрезка $OK$ равна половине высоты треугольника $ABC$, проведенной из прямого угла. Определим длину $OK$.
Рисунок 4
Удвоенная площадь треугольника $ABS$ равна
$$2S=AC\cdot BC=AB\cdot h$$
$$h=\frac{ AC\cdot BC }{AB}=\frac{ 9\cdot 12 }{15}=7,2$$
Тогда $OK=3,6$, а
$$JK=KL=\sqrt{R^2-OK^2}=\sqrt{3,75^2-3,6^2}=1,05$$
$$JL=2,1$$
Через точку $H$ проведем прямую, перпендикулярную $AB$, и рассмотрим прямоугольную трапецию $OKAH$. Найдем ее нижнее основание $AK$.
$$AK=AN+NK=AN+R$$
Так как $NH=OK$, то
$$AN=\sqrt{AH^2-HN^2}=\sqrt{4,5^2-3,6^2}=2,7$$
Кстати, я нашла длину отрезка $AN$, заметив, что треугольник $ANH$ - подобен $ABC$ и является египетским.
Таким образом,
$$AK=AN+NK=AN+R=2,7+3,75=6,45$$
Длина отрезка $AJ=AK-JK=5,4$, длина отрезка $BL=AB-AK-KL=7,5$.
Таким образом, $L$ - середина $AB$, а $CL$ - медиана треугольника $ABC$ и равна $CL=7,5$.
Определим теперь расстояние от точки $C$ до второй точки пересечения окружности с $AB$ - $J$. Расстояние $CJ$ легко определить по теореме косинусов:
$$CJ^2=AJ^2+AC^2-2AJ\cdotAC\cdot \cos{\angle A}$$
$$\cos{\angle A}=\frac{AC}{AB}=\frac{9}{15}=0,6$$
$$CJ=\sqrt{ AJ^2+AC^2-2AJ\cdotAC\cdot \cos{\angle A}}=\sqrt{ 5,4^2+9^2-2\cdot5,4\cdot9\cdot 0,6}=7,2$$
Ответ: $CJ=7,2$, $CL=7,5$.
Простая физика