Физическое решение геометрической задачи.

Задача эта давно решена мною традиционными, школьными методами. Но Александр Орлов предложил красивое, элегантное и простое решение данной задачи с применением физических законов, и мне ОЧЕНЬ понравилось такое краткое, практически устное, решение. Браво, Александр!

Задача. Найти отношение длин отрезков $AK : KF$ и $BK : KE$, если $BF : FC=3 :2$, $AE : EC=6: 2,5$.

Решение Александра Орлова.

Рисунок 1

Применим правило моментов для решения данной задачи. Если представить отрезок $AC$ рычагом, укрепленным в точке $E$, то, для того, чтобы он находился в равновесии, необходимо подвесить грузы, массы которых будут относиться как $5:12$ согласно правилу моментов:

$$m_A\cdot AE=m_C\cdot EC$$

$$\frac{m_A}{m_C}=\frac{EC}{AE}=\frac{5}{12}$$

Пусть $m_A=5$, $m_C=12$.

Теперь применим правило моментов для отрезка $BC$.

$$m_C\cdot FC=m_B\cdot BF$$

$$\frac{m_C}{m_B}=\frac{BF}{FC}=\frac{3}{2}$$

Откуда

$$m_B=8$$

Теперь то же правило моментов применим к отрезку $AF$:

$$m_A\cdot AK=m_F\cdot KF$$

Но, так как точка $F$ - центр тяжести отрезка $BF$, то можно в ней сосредоточить всю его массу: $m_F=m_B+m_C=20$, тогда

$$\frac{AK}{KF}=\frac{m_F}{m_A}=\frac{20}{5}=\frac{4}{1}$$

И аналогично для отрезка $BE$:

$$m_B\cdot BK=m_E\cdot KE$$

Но, так как точка $E$ - центр тяжести отрезка $AC$, то можно в ней сосредоточить всю его массу: $m_E=m_A+m_C=17$, тогда

$$\frac{BK}{KE}=\frac{m_E}{m_B}=\frac{17}{8}$$

Ответ: $\frac{AK}{KF}=\frac{4}{1}$, $\frac{BK}{KE}=\frac{17}{8}$.