Две мудреные задачки по геометрии

В этой статье предлагаю две интересные задачи, которые подходят для подготовки к 26 задаче ОГЭ. Задачи сложные. Но для продвинутых – самое то!

Задача 1.

На дуге $BC$, не содержащей точки $A$, окружности, описанной около треугольника $ABC$, выбрана точка $M$. Прямая $MA$ пересекается с прямой $BC$ в точке $L$, а прямая $CM$ с прямой $AB$ в точке $K$. Известно, что $AL=6$, $BK=4$, $CK=12$. Найдите $BL$.

К задаче 1

Рассмотрим треугольники $KBC$ и $KAM$. Они подобны по двум углам, один ($K$) – общий, второй помечен фиолетовой дугой. Поэтому

$$\frac{AK}{CK}=\frac{KM}{BK}$$

Перепишем пропорцию:

$$\frac{AK}{ KM }=\frac{ CK }{BK}=3$$

Следовательно, подобны и треугольники $KBM$ и $KBC$ (по общему углу и двум пропорциональным сторонам). Тогда

$$\frac{AC}{BM}=3$$

Треугольники $BML$ и $ALC$ также подобны по двум углам, тогда для них

$$\frac{AC}{BM}=\frac{AL}{BL}=3$$

Следовательно, $BL=\frac{AL}{3}=2$.

Ответ: $BL=2$.

Задача 2.

В треугольнике $ABC$ угол $C$ - прямой, $CD$ - высота. Биссектрисы углов $ABC$ и $ACD$ пересекаются в точке $M$, а биссектрисы углов $BAC$ и $BCD$ - в точке $N$. Найдите длину отрезка $MN$, если $AC=6$, $BC=8$.

К задаче 2

Так как $AM$ и $BN$ - биссектрисы, то обозначим углы, на которые они делят углы $CAB$ и $CBA$ - $\alpha$ и $\beta$ и сразу обозначим все такие углы на рисунке. Отсюда сразу видно, что угол $MCN$ равен $45^{\circ}$.

Теперь найдем длины сторон треугольника $MCN$. Для этого определим длины отрезков $CT$ и $CS$. По свойству биссектрисы для $BT$:

$$\frac{AT}{TC}=\frac{AB}{CB}$$

Треугольник $ABC$ - египетский, его биссектриса равна 10. Тогда

$$\frac{AT}{TC}=\frac{10x}{8x}$$

Но $AT+CT=6$, тогда

$$10x+8x=6$$

$$x=\frac{1}{3}$$

И $CT=\frac{8}{3}$.

По свойству биссектрисы для $AS$:

$$\frac{BS}{CS}=\frac{AB}{AC}$$

Тогда

$$\frac{BS}{CS}=\frac{10x}{6x}$$

Но $BS+CS=8$, тогда

$$10x+6x=8$$

$$x=\frac{1}{2}$$

И $CS=3$.

Определим тангенсы углов $\alpha$ и $\beta$. Из треугольника $ACS$

$$\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{CS}{AC}=\frac{1}{2}$$

Из треугольника $BCT$

$$\operatorname{tg}{\beta}=\frac{CT}{CB}=\frac{1}{3}$$

Треугольник $CMB$ - прямоугольный. Это следует из суммы его острых углов. Поэтому

$$\frac{ CM }{ BM }=\operatorname{tg}{\beta}=\frac{1}{3}$$

И

$$CM^2+BM^2=CB^2$$

$$CM^2+(3CM)^2=64$$

$$CM=\frac{8}{\sqrt{10}}$$

Треугольник $ACN$ - прямоугольный. Это также следует из суммы его острых углов. Поэтому

$$\frac{ CN }{ AN }=\operatorname{tg}{\alpha}=\frac{1}{2}$$

И

$$AN^2+CN^2=AC^2$$

$$(2CN)^2 +CN^2=36$$

$$CN=\frac{6}{\sqrt{5}}$$

Теперь применим теорему косинусов для треугольника $CMN$:

$$MN^2=CM^2+CN^2-2\cdotCN\cdot CM\cdot\cos{\angle MCN}$$

$$MN^2=\frac{64}{10}+\frac{36}{5}-2\frac{8}{\sqrt{10}}\cdot\frac{6}{\sqrt{5}}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=4$$

$$MN=2$$

Ответ: $MN=2$.