Два квадрата - задачи группы Math-Досуг

Задача 1.

Рисунок к задаче 1

Решение. Пусть сторона квадрата $a$. Введем дополнительные обозначения:

Дополнительно построим диагонали дельтоида и будем искать площадь, опираясь на них

Для треугольника $ABC$:

$$x^2=2a^2-2a^2\cos 45^{\circ}$$

Так как $a^2=1$, то

$$x^2=2-\sqrt{2}$$

Так как картинка симметричная, то $y$ - биссектриса угла в $45^{\circ}$ и делит его на два по $22,5^{\circ}$. Тогда для треугольника $CDB$ теорема синусов:

$$\frac{y}{\sin 90^{\circ}}=\frac{a}{\sin(90^{\circ}-22,5^{\circ})}$$

$$y=\frac{a}{\cos 22,5^{\circ}}$$

Определяем $\cos 22,5^{\circ}$:

$$\cos^2 22,5^{\circ}=\frac{1+\cos 45^{\circ}}{2}$$

$$\cos^2 22,5^{\circ}=\frac{2+\sqrt{2}}{4}$$

$$\cos 22,5^{\circ}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2}$$

Таким образом, $y$:

$$y=\frac{2a}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}$$

Площадь зеленой фигуры (дельтоида) найдем как

$$S=\frac{xy}{2}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\cdot \frac{2}{\sqrt{2+\sqrt{2}}}=\frac{1}{2+\sqrt{2}}$$

Ответ: $S=\frac{1}{2+\sqrt{2}}$

Задача 2.

Рисунок к задаче 2

Решение.

Сделаем дополнительные обозначения и построения:

Всего лишь продлили диагональ квадрата

Таким образом, площадь большей части зеленой области равна половине площади квадрата – 0,5. Осталось разобраться с малым треугольником, он тоже равнобедренный, так как прямоугольный и острый угол у него $45^{\circ}$. Пусть сторона квадрата $a=1$. Диагональ квадрата будет равна $\sqrt{2}$, отрезок $AB=\sqrt{2}-1$. Таким образом, катет малого треугольника нам известен, найдем его площадь:

$$S=\frac{(\sqrt{2}-1)^2}{2}=\frac{2-2\sqrt{2}+1}{2}=\frac{3-2\sqrt{2}}{2}=1,5-\sqrt{2}$$

Площадь всей зеленой области будет тогда равна

$$S_{zel}=0,5+1,5-\sqrt{2}=2-\sqrt{2}$$

Ответ: $S_{zel}=2-\sqrt{2}$

Задача 3.

Рисунок к задаче 3

Решение. Расставляем углы. Острый угол дельтоида приняли за $\gamma$ и от этого пляшем.

Обозначаем углы и некоторые отрезки

Замечаем, что треугольники $ABC$ и $DBF$ подобны. Составляем отношение сходственных сторон:

$$\frac{AB}{BF}=\frac{BC}{DF}$$

Если принять сторону квадрата за $a$, то

$$\frac{a\sqrt{2}}{BF}=\frac{a}{DF}$$

Откуда

$$BF=\sqrt{2}DF$$

Составим теорему синусов для треугольника $DFB$:

$$\frac{DF}{\sin \gamma}=\frac{BF}{\sin 45^{\circ}}$$

$$\frac{DF}{\sin \gamma}=\frac{\sqrt{2}DF }{\frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$\sin \gamma=\frac{1}{2}$$

То есть $\gamma=30^{\circ}$, а искомый угол $\alpha=135^{\circ}-\gamma=105^{\circ}$.

Ответ: $\alpha=105^{\circ}$.