Четыре окружности в одном треугольнике

К этой задаче я делала несколько подходов, пока решила. То одна идея придет – нет, тупик, то другая – опять тупик, получается тождество... Но-таки добила, чему очень рада и делюсь решением с вами.

Задача представлена на рисунке. В некоторый треугольник вписаны 4 окружности: первая – его собственная вписанная, а остальные касаются этой первой и двух сторон треугольника каждая. $R_1=16, R_2=25, R_3=36$. Найти $R$ - радиус вписанной окружности данного треугольника.

Рисунок к задаче

Решение. Пусть центры окружностей соответственно $F, M$ и $K$. Центр вписанной окружности $O$. Проведем радиусы в точки касания: $OT$ и $OE$, $KN$ и $MP$. $KN \parallel OT\parallel MP$, так как все эти радиусы перпендикулярны одной касательной - $AB$. Соединим также центры окружностей – проведем отрезки $OK$, $MO$, $OF$.

Проводим радиусы в точки касания, соединяем центры окружностей

Рассмотрим трапецию$TPMO$. Она прямоугольная, меньшее основание 25, большее - $R$. $MO=R+25$.

Трапеция TPMO

Опустим высоту из точки $M$: $MS$ и найдем ее. Отрезок $OS=R-25$, и для треугольника $MOS$ теорема Пифагора

$$MS^2=MO^2-OS^2$$

$$MS^2=(R+25)^2-(R-25)^2=R^2+50R+25^2-R^2+50R-25^2=100R$$

$$MS=10\sqrt{R}$$

Рассмотрим трапецию$TNKO$. Она прямоугольная, меньшее основание 36, большее - $R$. $OK=R+36$.

Трапеция TNKO

Опустим высоту из точки $K$: $KW$ и найдем ее. Отрезок $OW=R-36$, и для треугольника $KWO$ теорема Пифагора

$$KW^2=OK^2-OW^2$$

$$KW^2=(R+36)^2-(R-36)^2=R^2+72R+36^2-R^2+72R-36^2=144R$$

$$KW=12\sqrt{R}$$

Рассмотрим трапецию $PMKN$. $PM=25, NK=36$, $PT=10\sqrt{R}, NT=12\sqrt{R}$.

$$PN=PT+NT=22\sqrt{R}$$

Эта трапеция тоже прямоугольная, зная ее высоту, найдем боковую сторону – отрезок $MK$.

Трапеция PMKN

$$MK^2=ML^2+LK^2$$

$$MK^2=(22\sqrt{R})^2+(36-25)^2=484R+121$$

Теперь рассмотрим треугольник $KMO$ и запишем для него теорему косинусов:

$$MK^2=OK^2+MO^2-2OK\cdot MO\cdot \cos \angle KOM$$

Отрезки $MK, OK, MO$ выражены через $R$, а вот про косинус нам пока ничего не понятно. Найдем его. Известно, что угол между биссектрисами равен половине угла при вершине плюс $90^{\circ}$:

$$\angle KOM= \frac{\angle BCA}{2}+90^{\circ}$$

Тогда

$$\cos \angle KOM=\cos\left(\frac{\angle BCA}{2}+90^{\circ}\right)=-\sin \frac{\angle BCA}{2}$$

Чтобы найти означенный синус, рассмотрим треугольник $GOF$. Он построен путем построения $GF \parallel AC$, поэтому $\angle GFO=\frac{\angle BCA}{2}$.

$$\sin  \angle GFO=\frac{OG}{OF}=\frac{R-16}{R+16}$$

Подставим этот результат в нашу теорему косинусов:

$$484R+121=(R+36)^2+(R+25)^2-2(R+36)(R+25)\cdot \frac{16-R}{R+16}$$

Далее вычислительная работа:

$$484R+121=R^2+72R+36^2+R^2+50R+25^2-2(R^2+36R+25R+36\cdot 25)\cdot \frac{16-R}{R+16}$$

Домножим на $R+16$ правую и левую части:

$$(484R+121)(R+16)=(2R^2+122R+36^2+25^2)(R+16)-(32-2R)(R^2+61R+36\cdot 25)$$

Не стану приводить промежуточные вычисления: получается кубическое уравнение, которое, впрочем, быстро становится квадратным:

$$120R^2+2072R=2R^3$$

$$R^2-60R-1036=0$$

$$D=3600+4144=88^2$$

$$R=\frac{60+88}{2}=74$$

Ответ: $R=74$