Три интересных неравенства

1.Решите неравенство:

$$\frac{\log^2_{x-2} (6-x)}{x^2-10x+24}\geqslant 0$$

Решение. Числитель неотрицателен. Поэтому рассмотрим случаи, когда он равен нулю и не равен нулю:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} \log^2_{x-2} (6-x)=0\\ x^2-10x+24 \neq 0 \end{matrix}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} \log_{x-2} (6-x)=0\\ (x-6)(x-4) \neq 0 \end{matrix}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} 6-x=1\\ x\neq 6 \\ x\neq 4 \end{matrix}$$

Решение - $x=5$. Второй случай:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} \log^2_{x-2} (6-x) \neq 0 \\ x^2-10x+24 > 0 \end{matrix}$$

Здесь вспомним про ограничения на логарифм:

$$\Bigg\{ \begin{matrix} x-2 >0 \\ x-2 \neq 1 \\ 6-x > 0 \end{matrix}$$

$$\Bigg\{ \begin{matrix} x > 2 \\ x \neq 3 \\ x < 6 \end{matrix}$$

При этом $x \neq 5$, и из второго неравенства $x<4$ и $x>6$.

Теперь надо это все объединить. Получаем: $2<x<3$ и $3<x<4$, и точка 5.

Ответ: $x \in (2; 3)\cup (3; 4) \cup \{5\}$.

2.Решите неравенство:

$$\frac{\sqrt{\sqrt{x^2-10x+25}-x+5}}{3-x}\geqslant \frac{\sqrt{\sqrt{x^2-10x+25}-x+5}}{x+1}$$

Решение. Рассмотрим числители. Там видно полный квадрат:

$$\sqrt{x^2-10x+25}-x+5=\sqrt{(x-5)^2}-(x-5)=\mid x-5\mid –(x-5)$$

Так как это подкоренное выражение, то

$$\mid x-5\mid –(x-5)\geqslant 0$$

Или

$$\mid x-5\mid \geqslant x-5$$

Слева – число положительное, так что это выполняется всегда, при любом $x$. И мы имеем нечто очень похожее на предыдущее неравенство!

Рассмотрим два случая, в первом числитель равен нулю.

$$\mid x-5\mid = x-5$$

Так модуль раскроется при $x\geqslant 5$.

Второй случай, когда

$$\sqrt{\mid x-5\mid –(x-5)}>0$$

$$\mid x-5\mid –(x-5)>0$$

$$x<5$$

Неравенство превращается в

$$\frac{1}{3-x}\geqslant \frac{1}{x+1}$$

$$\frac{1}{3-x}-\frac{1}{x+1}\geqslant 0$$

$$\frac{x+1-(3-x)}{(3-x)(x+1)}\geqslant 0$$

$$\frac{x+1-3+x}{(3-x)(x+1)}\geqslant 0$$

$$\frac{x-1}{(3-x)(x+1)}\geqslant 0$$

Здесь решение $x<-1$ и $1\leqslant x<3$

Объединяем оба решения в одно в ответе.

Ответ: $ x \in (-\infty; -1)\cup [1;3)\cup [5; \infty)$.

3.Решите неравенство:

$$\log_3 (x^2-25)\leqslant 3\log_3 \frac{x+5}{x-5}$$

Подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля:

$$ x^2-25>0$$

Значит, $x<-5$ и $x>5$.

Далее, вроде бы, можно и от логарифма избавиться, но то, что получается, не вдохновляет:

$$x^2-25\leqslant\frac{(x+5)^3}{(x-5)^3}$$

Решение «в лоб» ничего не дало: раскрыла скобки, получила кубический многочлен, который не удалось разложить ни группировкой, ни по схеме Горнера. Попробуем тогда так, двойной заменой:

$$x+5=a; x-5=b$$

$$ab\leqslant\frac{a^3}{b^3}$$

Приведем к общему знаменателю:

$$ab- \frac{a^3}{b^3}\leqslant 0$$

$$\frac{ab^4- a^3}{b^3}\leqslant 0$$

$$\frac{a(b^4- a^2)}{b^3}\leqslant 0$$

$$\frac{a(b^2- a)(b^2+a)}{b^3}\leqslant 0$$

Так как $\frac{a}{b}=\frac{x+5}{x-5}>0$, то можно сократить:

$$\frac{(b^2- a)(b^2+a)}{b^2}\leqslant 0$$

В знаменателе квадрат, он положителен, поэтому

$$ (b^2- a)(b^2+a) \leqslant 0$$

Обратная замена:

$$((x-5)^2-x-5)(x-5)^2+x+5) \leqslant 0$$

$$(x^2-10x+25-x-5)(x^2-10x+25+x+5) \leqslant 0$$

$$(x^2-11x+20)(x^2-9x+30) \leqslant 0$$

Теперь можно разложить оба трехчлена, у второго дискриминант отрицателен, значит, его знак совпадает со знаком старшего коэффициента - положителен:

$$ x^2-11x+20\leqslant 0$$

$$D=121-80=41$$

$$x_1=\frac{11+\sqrt{41}}{2}$$

$$x_2=\frac{11-\sqrt{41}}{2}$$

$$\left(x-\frac{11+\sqrt{41}}{2}\right) \left(x-\frac{11-\sqrt{41}}{2}\right) \leqslant 0$$

Оценим $x_1$ и $x_2$: $x_1>8,5$, $x_2<2,5$. Тогда, с учетом ограничений, $x>5$

Ответ: $x \in (5; \frac{11+\sqrt{41}}{2}]$