Неравенство, решаемое с помощью свойств функций

Интересное неравенство. Поскольку экзамен претерпел изменения и неравенств в нем прибавилось, давайте тренироваться!

Задача. Решите неравенство.

$$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\cdot 2^{\mid x \mid}-1}>\frac{1}{2\cdot 2^{\sqrt{x}+2}-1}$$

$$\log_{0,5} \frac{4\cdot 2^{2\mid x \mid}-8\cdot 2^{\mid x \mid}+5}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$

$$\log_{0,5} \frac{4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1}{4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$

$$\log_{0,5} \left(4\left( 2^{\mid x \mid}-1\right)^2+1\right)}+\frac{1}{2\left(2^{\mid x \mid}-1\right)+1}>\log_{0,5}\left(4\left(2^{\sqrt{x}+2}-1\right)^2+1\right)+\frac{1}{2(2^{\sqrt{x}+2}-1)+1}$$

Вводим функцию:

$$y=\log_{0,5}(t^2+1)+\frac{1}{t+1}$$

Она является убывающей, поэтому

$$y(2(2^{\mid x \mid}-1))>y(2(2^{\sqrt{x}+2}-1))$$

$$2(2^{\mid x \mid}-1)<2(2^{\sqrt{x}+2}-1)$$

$$2^{\mid x \mid}<2^{\sqrt{x}+2}$$

$$\mid x \mid<\sqrt{x}+2$$

Т.к. $x \geqslant 0$, то

$$x-\sqrt{x}-2<0$$

$$\sqrt{x}<2$$

Ответ: $x \in [0;4)$.