Неравенства профильного ЕГЭ - задача 15

1.Решите неравенство.

$$log_{\sqrt{5}^{\left(x+\frac{1}{3}\right)}}  {5^{\frac{4}{x^2+3x}} \leqslant{\frac{6}{3x+1}}$$

Область допустимых значений:

$$\begin{Bmatrix}{x^2+3x\neq0}\\{3x+1\neq0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\neq0}\\{x\neq-3}\\{x\neq-\frac{1}{3}}\end{matrix}$$

Решение:

$${\frac{4}{x^2+3x}log_{\sqrt{5}^{\left(x+\frac{1}{3}\right)}} {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$

$${\frac{4}{x^2+3x}log_{5^{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{6}\right)}} {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$

$${\frac{4}{x^2+3x}\frac{1}{\left(\frac{x}{2}+\frac{1}{6}\right)}log_5 {5}\leqslant\frac{6}{3x+1}$$

 

$$\frac{8}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant \frac{6}{3x+1}$$

$$\frac{24}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}-\frac{6}{3x+1}\leqslant 0$$

$$\frac{24-6x^2-18x}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant 0$$

$$\frac{4-x^2-3x}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\leqslant 0$$

$$\frac{x^2+3x-4}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\geqslant 0$$

$$\frac{(x-1)(x+4)}{x(x+3)(x+\frac{1}{3})}\geqslant 0$$

Ответ:$[-4;-3) \cup (-\frac{1}{3};0) \cup [1;+\infty)$

2.Решите неравенство.

$$\log_{\frac{25-x^2}{16}} \frac{24+2x-x^2}{14}-1>0$$

Область допустимых значений:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{25-x^2}{16}\neq1}\\{\frac{25-x^2}{16}>0}\\{\frac{24+2x-x^2}{14}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{25-x^2}{16}-\frac{16}{16}\neq0}\\{25-x^2>0}\\{24+2x-x^2>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{9-x^2\neq0}\\{25-x^2>0}\\{24+2x-x^2>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\neq\pm3}\\{x>-5}\\{x<5}\\{x>-4}\\{ x<6}\end{matrix}$$

Объединяем решения неравенств системы, определяющей ОДЗ неравенства:

ОДЗ: $$\begin{Bmatrix}{x\neq\pm3}\\{x>-4}\\{ x<5}\end{matrix}$$

Решение:

$$\log_{\frac{25-x^2}{16}} \frac{24+2x-x^2}{14}-\log_{\frac{25-x^2}{16}} \frac{25-x^2}{16}>0$$

Применим метод рационализации:

$$\left(\frac{25-x^2}{16}-1\right) \left(\frac{24+2x-x^2}{14}-\frac{25-x^2}{16}\right) >0$$

$$\left(\frac{25-x^2-16}{16}\right) \left(\frac{(24+2x-x^2)8-(25-x^2)7}{112}\right) >0$$

$$\left(\frac{9-x^2}{16}\right) \left(\frac{192+16x-8x^2-175+7x^2}{112}\right) >0$$

$$\left(9-x^2\right) \left(-x^2+16x+17\right) >0$$

$$\left(3-x\right)(3+x)(x+1)(x-17)<0$$

Ответ: $(-4;-3)\cup(-1;3)$

3.Решите неравенство.

$$\left({\log_{\mid x\mid}} x^2 \right)^2+\log_2 x^2\leqslant 8$$

Область допустимых значений:

$$\begin{Bmatrix}{\mid x\mid \neq 1}\\{x^2>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\neq \pm1}\\{x\neq0}\end{matrix}$$

Решение:

$$\left(2\log_{\mid x \mid}} {\mid x\mid}} \right)^2+\log_2 x^2\leqslant 8$$

$$2^2+\log_2 x^2\leqslant 8$$

$$\log_2 x^2\leqslant 4$$

$$\log_2 x^2\leqslant \log_2 2^4$$

Основание логарифма больше 1, при переходе к сравнению подлогарифмических выражений сохраняем знак неравенства:

$$x^2\leqslant 16$$

$$(x-4)(x+4)\leqslant 0$$

Накладываем решение неравенства на ОДЗ:

Ответ: $(-4;-1) \cup (-1;0) \cup (0;1) \cup (1;4)$

4.Решите неравенство.

$$\log_7 \frac{3}{x}+ \log_7 (x^2-7x+11)\leqslant \log_7 (x^2-7x+\frac{3}{x}+10)$$

Область допустимых значений:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{3}{x}\geqslant0}\\{ x^2-7x+11\geqslant0}\\{ x^2-7x+\frac{3}{x}+10\geqslant0}\end{matrix}$$

Если будут выполнены первые два условия, то последнее также будет выполнено.

$$\begin{Bmatrix}{x\geqslant0}\\{ x\geqslant\frac{7+\sqrt{5}}{2}}\\{ x\leqslant\frac{7-\sqrt{5}}{2}}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\geqslant0}\\{ x\geqslant\frac{7+\sqrt{5}}{2}}\\{ x\leqslant\frac{7-\sqrt{5}}{2}}\end{matrix}$$

 

Решение:

$$\log_7  \frac{3}{x}(x^2-7x+11)\leqslant log_7  (x^2-7x+\frac{3}{x}+10)$$

Применяем метод рационализации:

$$(7-1)\left( \frac{3}{x}(x^2-7x+11)- (x^2-7x+\frac{3}{x}+10)\right) \leqslant 0$$

$$\left( 3x-21+\frac{33}{x}-x^2+7x-\frac{3}{x}-10)\right) \leqslant 0$$

$$\left( x^2-10x+31-\frac{30}{x})\right) \leqslant 0$$

$$\left( x^3-10x^2+31x-30)\right) \leqslant 0$$

Попробуем найти целые корни среди делителей числа 30. Делителями могут быть: $\pm1; \pm2; \pm3; \pm5; \pm6; \pm10; \pm15; \pm30$

Перебор по схеме Горнера дает корень 2:

$$(x-2)(x^2-8x+15) \leqslant 0$$

Раскладываем квадратный трехчлен на множители:

$$(x-2)(x-5)(x-3) \leqslant 0$$

Наложим теперь решение на ОДЗ:

Ответ: $(-\infty;0) \cup [2; \frac{7-\sqrt{5}}{2}) \cup [5;+\infty)$

5.Решите неравенство.

$$\left(\log_{\mid{x+1}\mid}} (x+1)^4 \right)^2+\log_2 (x+1)^2\leqslant 22$$

Область допустимых значений:

$$\begin{Bmatrix}{\mid x+1\mid\neq1}\\{\mid x+1\mid\geqslant0}\\{x+1\neq 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\neq -2}\\{x\neq 0}\\{x\neq-1}\end{matrix}$$

Решение:

$$\left(4\log_{\mid x+1\mid}} {\mid x+1\mid} \right)^2+2\log_2 \mid{x+1}\mid \leqslant 22$$

$$4^2+\log_2 \mid{x+1}\mid \leqslant 22$$

$$2\log_2 \mid{x+1}\mid \leqslant 6$$

$$\log_2 \mid{x+1}\mid \leqslant 3$$

$$\log_2 \mid{x+1}\mid \leqslant \log_2 2^3$$

Основание логарифма больше 1, при переходе к сравнению подлогарифмических выражений сохраняем знак неравенства:

$$\mid{x+1}\mid \leqslant 8$$

$$\begin{Bmatrix}{x+1\leqslant8}\\{ -x-1\leqslant8}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\leqslant7}\\{ x\geqslant-9}\end{matrix}$$

 

Накладываем решение неравенства на ОДЗ:

Ответ: $[-9;-2) \cup (-2;-1) \cup (-1;0) \cup (0;7]$

 

6.Решите неравенство.

$$\frac{3}{(2^{2-x^2}-1)^2}-\frac{4}{2^{2-x^2}-1}+1\geqslant0$$

Область допустимых значений:

$$2^{2-x^2}-1\neq0$$

$$2^{2-x^2}\neq1$$

$$2^{2-x^2}\neq2^0$$

$$2-x^2\neq0$$

$$x\neq \pm\sqrt{2}$$

Решение:

Пусть $2^{2-x^2}-1=a$, тогда

$$\frac{3}{a^2}-\frac{4}{a}+1\geqslant0$$

$$\frac{a^2-4a+3}{a^2}\geqslant0$$

$$a^2-4a+3\geqslant0$$

$$a_1=1; a_2=3$$

Делаем обратную замену:

$$2^{2-x^2}-1=1$$

$$2^{2-x^2}=2^1$$

$$2-x^2=1$$

$$x^2=1$$

$$x=\pm1$$

 

$$2^{2-x^2}-1=3$$

$$2^{2-x^2}=4$$

$$2^{2-x^2}=2^2$$

$$2-x^2=2$$

$$x^2=0$$

$$x=0$$

Неравенство принимает вид:

$$x^2(x-1)(x+1)\geqslant0$$

Отметим, что $0$ - корень четной кратности, при применении метода интервалов знак интервала в нем не поменяется!

Наложим полученное решение на ОДЗ неравенства и запишем ответ:

Ответ: $(-\infty;-\sqrt{2}) \cup (-\sqrt{2};-1] \cup {0}\cup [1; \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2};+\infty)$

 

7.Решите неравенство.

$$7^{\ln(x^2-2x)} \leqslant(2-x)^{\ln7}$$

Область допустимых значений:

$$x^2-2x>0$$

$$x<0 \cup x>2$$

Решение:

Прологарифмируем неравенство:

$$\log_7  7^{\ln(x^2-2x)} \leqslant \log_7 (2-x)^{\ln7}$$

$$\ln(x^2-2x)\log_7  7 \leqslant \ln 7 \cdot \log_7 (2-x)$$

$$\frac{\ln(x^2-2x)}{ \ln 7} \leqslant \log_7 (2-x)$$

Слева перейдем к новому основанию:

$$\log_7 (x^2-2x) \leqslant \log_7 (2-x)$$

Основание логарифма больше 1, при переходе к сравнению подлогарифмических выражений сохраняем знак неравенства:

$$x^2-2x \leqslant 2-x$$

$$x^2-x-2\leqslant 0$$

$$(x-2)(x+1)\leqslant 0$$

Наложим решение на ОДЗ:

Ответ: $[-1;0)$

 

8.Решите неравенство.

$$\log_{x^3-9x^2+27x-27} (9-x)\geqslant 0$$

Определим ОДЗ:

$$9-x>0$$

$$ x^3-9x^2+27x-27>0$$

$$ x^3-9x^2+27x-27\neq1$$

 

$$x<9$$

$$ (x-3)^3>0$$

$$ (x-3)^3\neq1$$

 

$$x<9$$

$$ x>3$$

$$ x-3\neq1$$

$$ x-3\neq-1$$

Окончательно ОДЗ:

$$x<9$$

$$ x>3$$

$$ x\neq4$$

$$ x\neq2$$

Решение: рассмотрим два случая: когда основание логарифма меньше 1 или больше 1. Первый:

$$\log_{(x-3)^3} {9-x}\geqslant \log_{(x-3)^3} 1$$

$$\begin{Bmatrix}{(x-3)^3<1}\\{ 9-x\leqslant1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x-3<1}\\{ -x\leqslant-8}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x<4}\\{ x\geqslant8}\end{matrix}$$

Этот случай решений не имеет.

Второй:

$$\begin{Bmatrix}{(x-3)^3>1}\\{ 9-x\geqslant1}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x-3>1}\\{ -x\geqslant-8}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x>4}\\{ x\leqslant8}\end{matrix}$$

Наложим решение на ОДЗ:

Ответ: $(4;8]$

9.Решите неравенство.

$$\frac{2}{x^2-12x+35}+\frac{3}{x^2-17x+70}\legslant0$$

$$\frac{2(x^2-17x+70)+3(x^2-12x+35)}{(x^2-12x+35)( x^2-17x+70)}\legslant0$$

$$\frac{5x^2-70x+245}{(x-7)(x-5)( x-10)(x-7)}\legslant0$$

$$\frac{x^2-14x+49}{(x-7)^2(x-5)( x-10)}\legslant0$$

$$\frac{(x-7)^2}{(x-7)^2(x-5)( x-10)}\legslant0$$

Отметим, что точка 7 выколота, кроме того, так как этот корень четной кратности, то в этой точке знак интервала меняться не будет.

Ответ: $(5;7)\cup(7;10)$