Разделы сайта

Категория:

Неравенства (15) ...

Неравенства и системы неравенств. Задания 15 (С3) ЕГЭ.

06.05.2015 20:02:12 | Автор: Анна

Решим сегодня несколько неравенств из заданий С3 ЕГЭ 2013.

Задание 1. Решить неравенство: $81^x+3^{2x-1}>84$

81 – это степень тройки, поэтому запишем неравенство так:

$3^{4x}+{1/3}*3^{2x}-84>0$

Введем новую переменную: $a=3^{2x}$ , тогда:

$a^2+{1/3}a-84>0$

Решаем, как обычное квадратное неравенство, сначала определяем корни квадратного уравнения:

$a^2+{1/3}a-84=0$

$D=(1/3)^2-4*(-84)=336{1/9}={3025/9}=(55/3)^2$

Корни: $a_1={-{1/3}+{55/3}}/2=9$

$a_2={-{1/3}-{55/3}}/2=-{56/6}=-{28/3}$

Корни промежуточного неравенства

Второй корень отрицателен, а число, возведенное в четную степень, не может быть отрицательным, поэтому рассматриваем только первый корень, делаем обратную замену:

$3^{2x}>9$

$3^{2x}>3^2$

Теперь основания степени одинаковы, и, кроме того, больше 1, переходим к сравнению показателей степени без изменения знака неравенства:

2x>2

x>1

Ответ: x in (1; +{infty})

Задание 2. Решить неравенство: $log_{1/2} (x+4)<log_2 {1/3}$

Определим область допустимых значений: подлогарифмическое выражение должно быть больше нуля: x+4>0

x>-4

Приведем оба логарифма к одному основанию:

$log_{1/2} (x+4)<log_{2^{-1}} {1/3}$

$log_{1/2} (x+4)<-log_{1/2} {1/3}$

Избавимся от минуса справа, перетащив эту (-1) в степень подлогарифмического выражения:

$log_{1/2} (x+4)<log_{1/2} (1/3)^{-1}$

Теперь у нас справа и слева логарифмы с одинаковыми основаниями, поэтому можем переходить к сравнению подлогарифмических выражений, однако основание логарифма меньше 1, поэтому знак неравенства необходимо поменять на противоположный:

x+4>3

x>-1

Ответ: x in (-1; +{infty})

Задание 3. Решить систему неравенств: $delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{9^{x+1}-28*3^{x}+3>=0} {sqrt{x+2}+log_5 (x+3)>=0}{} }}{ }$

Первое неравенство выглядит более привлекательно, и кажется несложным, с него и начнем:

$9^{x+1}-28*3^{x}+3>=0$

$3^{2(x+1)}-28*3^{x}+3>=0$

$9*3^{2x}-28*3^{x}+3>=0$

Делаем замену переменной: $a=3^{x}$

9a^2-28a+3>=0

Получили квадратное неравенство, найдем корни квадратного уравнения:

9a^2-28a+3=0

D=28^2-4*3*9=676=26^2

Корни: $a_1={28+26}/18=3$ , $a_2={28-26}/18={1/9}$

Корни промежуточного неравенства

Вводим обратную замену:

$3^{x}=3$

$3^{x}=3^1$

x>=1

$3^{x}=1/9$

$3^{x}=3^{-2}$

x<=-2

Решение первого неравенства системы

Теперь переходим к решению второго неравенства, и начнем с области допустимых значений. Значение подлогарифмического выражения должно быть больше нуля, а подкоренного – больше или равно 0:

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x+2>=0} {x+3>0}{}}}{ }

delim{lbrace}{matrix{3}{1}{{x>=-2} {x>-3}{}}}{ }

Общее решение данной системы, определяющей ОДЗ, x>=-2

Теперь решаем само неравенство. Так как мы видим справа и слева совершенно разные функции – корень и логарифм, то будем рассуждать так: так как корень из любого числа – величина неотрицательная, но может принимать значение ноль, то неравенство можно записать так:

log_5 (x+3)>=0