Метод рационализации 3

Определим сначала ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x^4\neq 1}\\{x\neq 0}\\{6-8x>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x\neq \pm 1}\\{x\neq 0}\\{x< \frac{3}{4}}\end{matrix}$$

Применим рационализацию:

$$(x^4-1)(6-8x-1)<0$$

$$(x^2-1)(x^2+1)(5-8x)<0$$

$$(x-1)(x+1)(\frac{5}{8}-x)<0$$

К задаче 1

Отмечаем точки, расставляем знаки интервалов, и с учетом ОДЗ получаем решение:

Ответ: $x \in (-1; 0) \cup (0; \frac{5}{8})$

Определим сначала ОДЗ: $x>0$.

Переносим влево:

$$\mid \log_5 x \mid-\mid \log_5 \frac{x}{49}\mid<0$$

$$( \log_5 x - \log_5 \frac{x}{49})(\log_5 x + \log_5 \frac{x}{49})<0$$

$$\log_5  49 \cdot \log_5  \frac{x^2}{49}<0$$

Так как $\log_5  49 >0$, то

$$\log_5  \frac{x^2}{49}<0$$

Рационализируем еще раз:

$$(5-1)(\frac{x^2}{49}-1)<0$$

Откуда

$$x^2<49$$

$x \in (-7; 7)$, а с учетом ОДЗ получим ответ: $ x \in (0; 7)$

Определим  ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix} {x\neq 1}\\{x\neq 0}\\{x\neq -1}\end{matrix}$$

Теперь замена на равносильное неравенство:

$$\frac{x(x-4)}{(7-1)(x^2-1)} \leqslant 0$$

$$\frac{x(x-4)}{(x-1)(x+1)} \leqslant 0$$

Отмечаем точки 0; 4; -1; +1 на прямой, расставляем знаки.

К задаче 3

Корней четной кратности нет, так что решение

$$x \in(-1; 0) \cup (1; 4]$$

Определим  ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix} { x-\frac{2}{3}>0}\\{2^{3x}-4^7\neq 0}\\{4x-2>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix} { x>\frac{2}{3}}\\{3x\neq 14}\\{x>\frac{1}{2}}\end{matrix}$$

Итог: $x>\frac{2}{3}$ с выколотой точкой $x \neq \frac{14}{3}$.

Рационализация:

$$\frac{(4-1)(x-\frac{2}{3}-4)(4-1)(4x-2-1)}{(2-1)(3x-14)}\geqslant 0$$

$$\frac{(x-4\frac{2}{3})(4x-3)}{(3x-14)}\geqslant 0$$

Точка $x=\frac{14}{3}$ - присутствует и в числителе, и в знаменателе, это корень четной кратности. С учетом этого расставляем знаки интервалов:

К задаче 4

Ответ: $x \in(\frac{3}{4}; \frac{14}{3}) \cup (\frac{14}{3}; \infty)$

Определим ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix} { x>0}\\{\log_2 x +3\neq 0}\end{matrix}$$

Так как корни нечетной степени, то других условий нет.

Представим тройку в виде логарифма, а корни – в виде степеней:

$$\frac{(x^2+1)^{\frac{1}{3}}-(16-2x)^{\frac{1}{3}}}{\log_2 x+\log_2 8 }\geqslant 0$$

Рационализация:

$$\frac{(x^2+1-(16-2x))\cdot \frac{1}{3}}{\log_2 8x}\geqslant 0$$

$$\frac{x^2+1-16+2x}{(2-1)(8x-1)} \geqslant 0$$

$$\frac{x^2+2x-15}{8x-1} \geqslant 0$$

$$\frac{(x+5)(x-3)}{8x-1} \geqslant 0$$

Отмечаем точки, корней четной кратности нет.

К задаче 5

Решение с учетом ОДЗ:

Ответ: $x \in(0;\frac{1}{8}) \cup [3; \infty)$