Метод рационализации 2

Определим сначала ОДЗ:

$$4x-6\geqslant 0$$

$$x\geqslant 1,5$$

Вообще функция $f(x)^{g(x)}$ не является показательной. И существуют две точки зрения, оценивающие область определения данной функции. Первая исходит из условия $f(x)>0$, и если ей следовать, то придется выкалывать  точку $x=1,5$. (Вторая точка зрения допускает, что $f(x)$ может принимать отрицательные значения при условии, что $g(x)$ принимает целые значения, или $f(x)=0$ при $g(x)>0$). Вообще условие равенства нулю нужно проверять отдельно в нестрогих неравенствах в обособленных точках.

Следуя таблице замен, получаем равносильное исходному неравенство:

$$( x^2-4x+6-(4x-6))(x-3)<0$$

$$(x^2-8x+12)(x-3)<0$$

$$(x-6)(x-2)(x-3)<0$$

Все точки выколоты, нанесем их на ось:

Задача 1.

Выберем интервалы с «минусом».

С учетом ОДЗ имеем решение: $x \in (1,5; 2) \cup (3; 6)$

Ответ: $x \in (1,5; 2) \cup (3; 6)$

ОДЗ: $x\neq 3$.

Применяем рационализацию:

$$\frac{(7+2x –(x+2))(7+2x+x+2)}{x+3} \geqslant 0$$

$$\frac{(5+x)(9+3x)}{x+3} \geqslant 0$$

Точка -3 – корень четной кратности, в нем знак интервала не поменяется. Поэтому решение:

К задаче 2.

Ответ: $x \in [-5; -3) \cup (-3; +\infty)$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x+1>0}\\{ {x+1\neq 1}\\{x\neq2}\\{x>0}\end{matrix}$$

В итоге ОДЗ неравенства - $x \in (0;2)\cup (2;+\infty)$.

Представим двойку в числителе в виде логарифма, после чего применим рационализацию:

$$\frac{\log_{x+1} x-\log_{x+1} (x+1)^2}{x-2}<0$$

Теперь рационализация и переход к равносильному неравенству:

$$\frac{(x+1-1)(x-(x+1)^2)}{x-2}<0$$

$$\frac{x(x-(x^2+2x+1))}{x-2}<0$$

$$\frac{x}{x-2}(-x^2-x-1)<0$$

Сменим знак:

$$\frac{x}{x-2}(x^2+x+1)>0$$

В силу отрицательности дискриминанта трехчлен $ x^2+x+1$ всегда положителен, поэтому имеем неравенство

$$\frac{x}{x-2}>0$$

Решением его будут два луча:

$$x \in(-\infty; -2) \cup (2;+\infty)$$

Из них по ОДЗ выберем $x \in(2;+\infty)$.

Ответ: $x \in(2;+\infty)$.

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x+3>0}\\{ {\log_2 (x+3)\neq 0}\end{matrix}$$

Решение этой системы дает ОДЗ неравенства - $x \in(-3; -2)\cup(-2; +\infty)$.

Применим рационализацию:

$$\frac{(x-4)^2-(x^2+2)}{(2-1)(x+3-1)}\leqslant 0$$

$$\frac{14-8x}{x+2)}\leqslant 0$$

Корни числителя и знаменателя $x=-2$ и $x=\frac{7}{4}$, решение $x \in(-\infty; -2) \cup [\frac{7}{4};+\infty)$, с учетом ОДЗ -

Ответ: $x \in(-3; -2) \cup [\frac{7}{4};+\infty)$

ОДЗ:

$$\mid x+2 \mid-\sqrt{7}\neq 0$$

$$(x+2)^2\neq 7$$

$$ x\neq -2-\sqrt{7}$$

$$ x\neq -2+\sqrt{7}$$

Преобразуем неравенство:

$$\frac{5^{x^2+4}-5^3}{\mid x+2 \mid-\sqrt{7}}\geqslant 0$$

Заменяем на равносильное неравенство:

$$\frac{(5-1)(x^2+4-3)}{(x+2)^2-7}\geqslant 0$$

$$\frac{x^2+1}{x^2+4x-3}\geqslant 0$$

Так как числитель положителен, то знаменатель должен тоже быть больше нуля:

$$ x^2+4x-3>0$$

Корни уравнения $ x^2+4x-3=0$ - как раз выколотые нами точки $ x\neq -2\pm \sqrt{7}$, решением неравенства будет $x \in(-\infty; -2-\sqrt{7}) \cup (-2+\sqrt{7};+\infty)$, ОДЗ учтено уже.

Ответ: $x \in(-\infty; -2-\sqrt{7}) \cup (-2+\sqrt{7};+\infty)$.