Метод мажорант

В этой статье приведен метод решения неравенств, называемый методом мажорант. Некоторые называют задачи на этот метод задачами на минимакс. Названия могут меняться, но суть - в оценке обеих частей неравенства.

Задача 1.

Решить неравенство:

$$\log_5 x\leqslant \sqrt{1-x^4}$$

Ограничения:

$$\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{ 1-x^4\geqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x>0}\\{ x\leqslant 1}\end{matrix}$$

Оцениваем логарифм при данных $x$: он оказывается всегда меньше нуля. А $\sqrt{1-x^4}$ при данных $x$ - больше нуля. Таким образом, на ОДЗ неравенство всегда выполняется.

Ответ: $x \in (0; 1]$

Задача 2.

Решить неравенство:

$$\sqrt{16-(5x+2)^2}\geqslant 4+\cos^2 \frac{15 \pi x}{4}$$

Оцениваем правую часть:

$$4\leqslant 4+\cos^2 \frac{15 \pi x}{4}\leqslant 5$$

Оцениваем левую часть. $(5x+2)^2$ - величина неотрицательная, поэтому

$$16-(5x+2)^2\leqslant 16$$

$$\sqrt{16-(5x+2)^2}\leqslant 4$$

То есть возможно только равенство левой части четырем.

Тогда

$$\begin{Bmatrix}{ \sqrt{16-(5x+2)^2}= 4}\\{ 4+\cos^2 \frac{15 \pi x}{4}=4}\end{matrix}$$

$$5x+2=0$$

$$x=-0,4$$

Проверим выполнение второго уравнения системы:

$$\frac{15 \pi x}{4}=\frac{15 \pi \cdot(-0,4)}{4}=-1,5\pi$$

$$\cos(-1,5\pi})=0$$

Выполнено.

Ответ: $x=-0,4$.

Задача 3.

Решить неравенство:

$$\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x}\geqslant 3\sqrt[4]{x^2-4x+20}$$

Ограничения:

$$\begin{Bmatrix}{ x+7\geqslant 0}\\{ 11-x\geqslant 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x\geqslant -7}\\{ x\leqslant 11}\end{matrix}$$

Чтобы оценить левую часть, введем функцию

$$f(x)=(x+7)^{\frac{1}{2}}+(11-x)^{\frac{1}{2}}$$

Исследуем ее, взяв производную:

$$f’(x)= \frac{1}{2} \cdot(x+7)^{-\frac{1}{2}}-\frac{1}{2} \cdot(11-x)^{-\frac{1}{2}}=0$$

$$\frac{\sqrt{11-x}-\sqrt{x+7}}{\sqrt{(x+7)(11-x)}}=0$$

$$\sqrt{11-x}=\sqrt{x+7}$$

$$11-x=x+7$$

$$x=2$$

В точке 2 производная меняет знак с положительного на отрицательный – это точка максимума функции. Определим значение функции в этой точке:

$$ f(2)=(2+7)^{\frac{1}{2}}+(11-2)^{\frac{1}{2}}=6$$

То есть

$$\sqrt{x+7}+\sqrt{11-x}\leqslant 6$$

Оценим правую часть:

$$3\sqrt[4]{x^2-4x+20}=3\sqrt[4]{x^2-4x+16+4}=3\sqrt[4]{(x-2)^2+16}$$

При $x=2$ значение этого выражения минимально и равно 6.

Таким образом, возможно равенство обеих частей при $x=2$

Ответ: $x=2$.

Задача 4.

Решить неравенство:

$$\sqrt{x^3+8x^2-7x-26}+\sqrt{x^2+3x-10}\leqslant 0$$

Слева – сумма двух неотрицательных слагаемых. Она может быть равна нулю при условии равенства нулю обоих слагаемых:

$$\begin{Bmatrix}{ x^3+8x^2-7x-26=0}\\{ x^2+3x-10=0}\end{matrix}$$

Второе уравнение имеет корни 2 и (-5), и первому уравнению удовлетворяет первый из них.

Ответ: $x=2$.

Задача 5.

Решить неравенство:

$$\sqrt{x^2-5x-14}+\lg(x^2-6x+10)>0$$

Ограничения:

$$\begin{Bmatrix}{ x^2-5x-14\geqslant 0}\\{ x^2-6x+10>0}\end{matrix}$$

Решая первое неравенство, имеем $x \in (-\infty; -2]\cup [7; +\infty)$. Второй трехчлен всегда положителен вследствие отрицательности его дискриминанта.

Левая часть неравенства неотрицательна. Уравнение

$$\sqrt{x^2-5x-14}+\lg(x^2-6x+10)=0$$

Может иметь корни при равенстве нулю обоих слагаемых.

Но система

$$\begin{Bmatrix}{ \sqrt{x^2-5x-14}=0}\\{ \lg(x^2-6x+10)=0}\end{matrix}$$

Не имеет решений. Поэтому решение неравенства – его ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty; -2]\cup [7; +\infty)$.
Еще два неравенства, решаемых этим методом, здесь.