Логарифмическое неравенство с трудно различимой лазейкой

Неравенство очень интересное, довольно сложное, и с небольшим подвохом. А может, и не подвохом, а «запасным выходом». Потому как, если при решении вы «залезли в дебри», все сложно, дискриминанты не находятся или из них корни не извлекаются, то, возможно, есть лазейка, которую не видно «невооруженным глазом», и неравенство придется «препарировать», чтобы ее отыскать.

Задача. Решите неравенство:

$$\frac{\log_{2x-1}^2 (9x^2-12x+4)-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (6x^2-7x+2)-2} \leqslant 2$$

Сразу хочется разложить трехчлены на множители:

$$9x^2-12x+4=0$$

$$D=0$$

$$9x^2-12x+4=(3x-2)^2$$

И

$$6x^2-7x+2=0$$

$$D=1$$

$$6x^2-7x+2=6(x-\frac{2}{3})(x-\frac{1}{2})=(2x-1)(3x-2)$$

Неравенство приобретает вид:

$$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (2x-1)(3x-2)-2} \leqslant 2$$

Можно переписать так:

$$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3\log_{2x-1} (2x-1)+ 3\log_{2x-1} (3x-2)-2} \leqslant 2$$

$$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{3+ 3\log_{2x-1} (3x-2)-2} \leqslant 2$$

$$\frac{\log_{2x-1}^2 (3x-2)^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{1+ 3\log_{2x-1} (3x-2)} \leqslant 2$$

Уже видна замена, но не торопитесь. Если сейчас произвести замену, то вот что произойдет:

$$\frac{(2\log_{2x-1} (3x-2))^2-10\log_{2x-1} (3x-2)+18}{1+ 3\log_{2x-1} (3x-2)} \leqslant 2$$

$$t=\log_{2x-1} (3x-2)$$

$$\frac{4t^2-10t+18}{1+ 3t} \leqslant 2$$

$$\frac{4t^2-10t+18-2(1+3t)}{1+ 3t} \leqslant 0$$

$$\frac{4t^2-16t+16)}{1+ 3t} \leqslant 0$$

$$\frac{t^2-4t+4)}{1+ 3t} \leqslant 0$$

$$\frac{(t-2)^2}{1+ 3t} \leqslant 0$$

Дальше выплывет $t<-\frac{1}{3}$, обратная замена даст

$$\log_{2x-1} (3x-2)<-\frac{1}{3}$$

И… все. Здравствуйте, дебри. Когда так случается, нужно искать «боковой ход», есть что-то такое, какая-то дверца, которую мы сразу не увидели. Давайте «прощупаем» логарифм $\log_{2x-1} (3x-2)$.

Просто возьмем несколько значений $x$ из допустимых и посчитаем, каково подлогарифмическое выражение и основание логарифма.

При $x=1,5$ $2x-1=2$, а $3x-2=2,5$.

При $x=2$ $2x-1=3$, а $3x-2=4$.

При $x=2,5$ $2x-1=4$, а $3x-2=5,5$.

А логарифм-то всегда положителен! Кстати, особо внимательные могут заметить, что выражения $2x-1$ и $3x-2$ равны при $x=1$. И их значения всегда по одну сторону от 1.

Короче, на положительный знаменатель можно домножить без вреда для знака неравенства. И получить

$$t=\log_{2x-1} (3x-2)$$

$$4t^2-10t+18 \leqslant 2(1+ 3t)$$

$$4t^2-10t+18-2(1+3t) \leqslant 0$$

$$4t^2-16t+16\leqslant 0$$

$$( t-2)^2\leqslant 0$$

То есть может выполняться только равенство

$$t-2=0$$

Обратная замена даст

$$\log_{2x-1} (3x-2)=2$$

$$(2x-1)^2=3x-2$$

$$4x^2-4x+1=3x-2$$

$$4x^2-7x+3=0$$

Корни 1 и 0,75.

По ограничениям имеем

$$2x-1>0$$

$$x>\frac{1}{2}$$

И

$$2x-1\neq 1$$

$$2x\neq 2$$

$$x\neq 1$$

Последнее исключает точку 1 из решения.

По остальным логарифмам ограничения

$$3x-2>0$$

$$ x>\frac{2}{3}$$

И

$$6x^2-7x+2>0$$

То есть тоже $x>\frac{2}{3}$.

Одно из решений, полученных нами, удовлетворяет ограничениям.

Ответ: 0,75