Логарифмические неравенства

1.Решить неравенство:

$$\log_{11} (3x-1)>1$$

ОДЗ:

$$3x-1>0$$

$$x>\frac{1}{3}$$

Решение:

$$\log_{11} (3x-1)> \log_{11} 11$$

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:

$$3x-1> 11$$

$$3x> 12$$

$$x> 4$$

Ответ: $x \in (4; +\infty)$

 

2.Решить неравенство:

$$\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)>0$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{7x-1>0}\end{matrix}$$

$$x>\frac{1}{7}$$

Решение:

$$\log_{\frac{1}{3}} (7x-1)> \log_{\frac{1}{3}} 1$$

Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:

$$7x-1< 1$$

$$7x< 2$$

$$x< \frac{2}{7}$$

Пересекаем решение и ОДЗ, имеем: $x \in (\frac{1}{7}; \frac{2}{7})$

 

3.Решить неравенство:

$$2\log_{\frac{1}{9}} \frac{2-3x}{x}\geqslant -1$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{2-3x}{x}>0}\end{matrix}$$

Решим методом интервалов. Корень числителя - $x=\frac{2}{3}$, корень знаменателя $x=0$ - эта точка выколота всегда, корень числителя – тоже выколотая точка, так как знак строгий. Таким образом, $x \in (0; \frac{2}{3})$.

Решение:

$$-\log_3 \frac{2-3x}{x}\geqslant -\log_3 3$$

$$\log_3 \frac{2-3x}{x}\leqslant \log_3 3$$

Переходим к сравнению подлогарифмических выражений, знак сохраняем: основание больше 1:

$$\frac{2-3x}{x}\leqslant 3$$

$$\frac{2-3x}{x}-3\leqslant 0$$

$$\frac{2-3x}{x}-\frac{3x}{x}\leqslant 0$$

$$\frac{2-6x}{x}\leqslant 0$$

Корень числителя - $x=\frac{1}{3}$, корень знаменателя $x=0$ - эта точка выколота всегда, корень числителя – точка закрашенная, она войдет в решение, так как знак неравенства не строгий. Таким образом, $x \in [\frac{1}{3}; +\infty)$.

При наложении решения на ОДЗ получим:

Ответ: $x \in [\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$.

 

4.Решить неравенство:

$$2\log_3 (-x) -\log_{\frac{1}{3}}(4+x)\leqslant \log_3 (x+1)^2+2\log_9 (10+x)$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{-x>0}\\{4+x>0}\\{10+x}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x<0}\\{x>-4}\\{x>-10}\end{matrix}$$

Решение этой системы - $x \in(-4;0)$

Решение:

$$\log_3 x^2 +\log_3 (4+x)\leqslant \log_3 (x+1)^2+\log_3 (10+x)$$

$$x^2(4+x)\leqslant (x+1)^2 (10+x)$$

$$4x^2+x^3\leqslant (x^2+2x+1)(10+x)$$

$$-8x^2-21x-10\leqslant 0$$

$$8x^2+21x+10\geqslant 0$$

$$8x^2+21x+10\geqslant 0$$

Корни: $D=21^2-4\cdot8\cdot10=121$

$$x_{1,2}=\frac{-21 \pm 11}{16}$$

$$x_1=-2, x_2=-\frac{5}{8}$$

Поскольку знак неравенства нестрогий, то точки входят в решение: на рисунке их нужно изобразить закрашенными. Решение неравенства: $x \in (-\infty; -2] \cup [-\frac{5}{8};+\infty)$.

Накладывая решение на область допустимых значений, получаем:

Ответ: $x \in (-4; -2] \cup [-\frac{5}{8};0)$

 

5.Решить неравенство:

$$2\log_2 x -\log_2 (2x-2)>1$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x>0}\\{2x-2>0}\end{matrix}$$

Решение этой системы - $x \in(1;+\infty)$

Решение:

$$\log_2 x^2 -\log_2 (2x-2)>\log_2 2$$

$$\log_2 \frac{x^2}{2x-2}>\log_2 2$$

$$\frac{x^2}{2x-2}>2$$

$$\frac{x^2-2(2x-2)}{2x-2}>0$$

$$\frac{(x-2)^2}{2(x-1)}>0$$

Точка 1 является выколотой – это корень знаменателя, точка 2 – корень четной кратности, а мы помним, что в таких точках знак интервала не изменяется! Поэтому решение будет выглядеть так:

Решение неравенства:

$$x \in (1;2) \cup (2; +\infty)$$

Это полностью укладывается в ОДЗ, поэтому ответ таким и будет:

Ответ: $x \in (1;2) \cup (2; +\infty)$

 

6.Решить неравенство:

$$\log_x{\frac{6-5x}{4x+5}}>1$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{6-5x}{4x+5}>0}\\{4x+5 \neq 0}\\{x\neq 1}\\ {x>0}\end{matrix}$$

Допустимые значения $x$: $x \in (0;1) \cup(1; \frac{6}{5})$

Решение неравенства проведем методом рационализации:

$$\log_x{\frac{6-5x}{4x+5}}>\log_x x$$

$$(x-1)\left(\frac{6-5x}{4x+5}}- x\right)>0$$

$$(x-1)\left(\frac{6-5x-x(4x+5)}{4x+5}}\right)>0$$

Упрощаем:

$$(x-1)\left(\frac{-4x^2-10x+6}{4(x+\frac{5}{4})}\right)>0$$

$$(x-1)\left(\frac{2x^2+5x-3}{2(x+\frac{5}{4})}\right)<0$$

Раскладываем на множители:

$$\frac{(x-1)(x+3)(x-\frac{1}{2})}{2(x+\frac{5}{4})}<0$$

Отмечаем полученные точки на координатной прямой:

Наложив это решение на ОДЗ, имеем: $x \in (\frac{1}{2};1)$

Ответ: $x \in (\frac{1}{2};1)$