Интересные неравенства типа заданий 15 профильного ЕГЭ

1.Решить неравенство.

$$\frac{ 4\log_{0,3} x+1}{ \log_{0,3} x+1}\leqslant\log_{0,3} x+1$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x+1\neq 0}\\{x>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq -1}\\{x>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\log_{0,3} x\neq \log_{0,3} {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x\neq  {\frac{10}{3}}}\\{x>0}\end{matrix}$$

 

Обозначим $\log_{0,3} x=a$, тогда

$$\frac{ 4a+1}{a+1}\leqslant {a+1}$$

$$\frac{ 4a+1-(a+1)^2}{a+1}\leqslant 0$$

$$\frac{-a^2+2a}{a+1}\leqslant 0$$

$$\frac{a(2-a)}{a+1}\leqslant 0$$

Решение этого неравенства представлено на рисунке:

Теперь производим обратную замену:

$$\log_{0,3} x \leqslant 0$$

$$\log_{0,3} x \leqslant \log_{0,3} 1 $$

$$x \geqslant 1$$

И

$$\log_{0,3} x \geqslant 2$$

$$\log_{0,3} x \geqslant \log_{0,3} {0,09} $$

$$x \leqslant 0,09$$

И

$$\log_{0,3} x > -1$$

$$\log_{0,3} x > \log_{0,3} {\frac{10}{3}} $$

$$x \leqslant \frac{10}{3}$$

 

С учетом ОДЗ:

Ответ: $x \in (0; 0,09] \cup [1; \frac{10}{3})$

 

2.Решить неравенство.

$$\log_{\frac{1}{x^2}} \frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)} \geqslant \frac{1}{2}$$

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x\neq 0}\\{\frac{1}{x^2} \neq 1}\\{\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x\neq 0}\\{x \neq \pm 1}\\{x>-1}\\{x<2}\\{x>5}\end{matrix}$$

В итоге, объединив все условия, получили следующую ОДЗ:

$$ x \in (-1;0) \cup (0;1) \cup (1;2) \cup (5; +\infty)$$

Решение неравенства:

$$\log_{\frac{1}{x^2}} {\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant \log_{\frac{1}{x^2}} {\sqrt{\frac{1}{x^2}}}$$

$$\log_{\frac{1}{x^2}} {\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant \log_{\frac{1}{x^2}} {\left|\frac{1}{x}\right|}}$$

Рассмотрим два случая: а) когда основание логарифма больше 0, но меньше 1, и б) когда оно больше 1.

а) Основание логарифма $\frac{1}{x^2}<1$.

Тогда $\frac{1-x^2}{x^2}<0$,  $\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}<0$,  $x \in (-\infty;-1) \cup (1; +\infty)$.

$$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\leqslant\left|\frac{1}{x}\right|$$

Наше неравенство при $x<0$ приобретет вид (раскрываем модуль):

$$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}+\frac{1}{x} \leqslant 0$$

$$\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \leqslant 0$$

$$\frac{3x^2-8x-5}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0$$

$$\frac{3(x-\frac{4-\sqrt{31}}{3})(x+\frac{4+\sqrt{31}}{3})}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0$$

Расставив знаки интервалов, получаем решение (при $x< 0$!): $x \in  (-\infty;-1)\cup [\frac{4-\sqrt{31}}{3};0)$ - ни одна часть решения не проходит либо по ОДЗ, либо из-за того, что не принадлежит нужному интервалу.

Теперь раскроем модуль при $x>0$, неравенство приобретет вид:

$$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}-\frac{1}{x} \leqslant 0$$

$$\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \leqslant 0$$

$$\frac{x^2+5}{x(x+1)(x-5)} \leqslant 0$$

Так как числитель всегда положителен, то неравенство можно записать:

$$x(x+1)(x-5) < 0$$

Неравенство стало строгим, так как точки – полюса функции (корни знаменателя).

Решение этого неравенства $x \in  (-\infty;-1) \cup (0;5)$, но, так как сейчас наложено условие $x>1$, то решение будет $x \in  (1;5)$. Теперь вспоминаем про ОДЗ и накладываем и его условия: $x \in  (1;2)$

б) Основание логарифма $\frac{1}{x^2}>1$.

Тогда $\frac{1-x^2}{x^2}>0$,  $\frac{(1-x)(1+x)}{x^2}>0$,  $x \in (-1;0) \cup (0; 1)$.

$$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}\geqslant\left|\frac{1}{x}\right|$$

Раскрываем модуль.

Неравенство при $-1<x<0$ приобретет вид:

$$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}+\frac{1}{x} \geqslant 0$$

$$\frac{2x(x-2)- (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \geqslant 0$$

$$\frac{3x^2-8x-5}{x(x+1)(x-5)} \geqslant 0$$

$$\frac{3(x-\frac{4-\sqrt{31}}{3})(x+\frac{4+\sqrt{31}}{3})}{x(x+1)(x-5)} \geqslant 0$$

Расставив знаки интервалов, получаем решение (при $-1<x<0$!): $x \in (-1; \frac{4-\sqrt{31}}{3}] $– это решение полностью удовлетворяет ОДЗ.

Неравенство при $0<x<1$ приобретет вид:

$$\frac{2(x-2)}{(x+1)(x-5)}}-\frac{1}{x} \geqslant 0$$

$$\frac{2x(x-2)+ (x+1)(x-5)}{x(x+1)(x-5)}} \geqslant 0$$

$$\frac{x^2+5}{x(x+1)(x-5)} \geqslant 0$$

Так как числитель всегда положителен, то неравенство можно записать:

$$x(x+1)(x-5) > 0$$

Неравенство стало строгим, так как точки – полюса функции (корни знаменателя).

Решение этого неравенства $x \in  (-1;0) \cup (5;+\infty)$, но, так как сейчас наложено условие $0<x<1$, то решений не будет.

Подводим итог: $x \in (-1; \frac{4-\sqrt{31}}{3}] \cup (1;2)$