Два способа решить неравенство методом рационализации

В этой статье разберем решение одного неравенства двумя способами. Но оба  - с применением метода замены множителя.

Решите неравенство:

$$\log_{8-4x} (16x^2-8x+1)\leqslant 2$$

Для решения выберем способ замены множителей. Перед его применением выпишем ограничения:

$$\begin{Bmatrix}{ 8-4x>0}\\{ 8-4x\neq 1}\\{ 16x^2-8x+1>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ 4x<8}\\{ 4x\neq 7}\\{ (4x-1)^2>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ x<2}\\{ x\neq \frac{7}{4}}\\{ x \neq \frac{1}{4}}\end{matrix}$$

Теперь надо представить двойку справа в виде логарифма, перенести влево, и заменить разность логарифмов на логарифм частного. После чего можно будет применять метод замены множителей.

Перенесем двойку:

$$\log_{8-4x} (16x^2-8x+1) -2\leqslant 0$$

Представляем двойку логарифмом:

$$\log_{8-4x} (16x^2-8x+1) -\log_{8-4x} (8-4x)^2\leqslant 0$$

Заменяем разность логарифмов логарифмом частного:

$$\log_{8-4x} \frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2}\leqslant 0$$

Рационализация:

$$(8-4x-1) \left( \frac{16x^2-8x+1}{(8-4x)^2}-1\right) \leqslant 0$$

$$(7-4x) \left( \frac{4x-1}{8-4x}-1\right) \left( \frac{4x-1}{8-4x}+1\right)\leqslant 0$$

$$\frac{7 (7-4x)(8x-9)}{(8-4x)^2}\leqslant 0$$

Решением неравенства будет $x \in \left(-\infty; \frac{9}{8}]\cup [\frac{7}{4}; 2)\cup (2; \infty)$, а с учетом ОДЗ $x \in \left(-\infty; \frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{4};\frac{9}{8}]\cup (\frac{7}{4}; 2\right)$

К первому способу

Можно было немного иначе решать, с использованием модуля. Для смелых:

$$\log_{8-4x} (16x^2-8x+1)\leqslant 2$$

$$\log_{8-4x} (4x+1)^2\leqslant 2$$

$$2\log_{8-4x} \mid 4x+1\mid \leqslant 2$$

$$\log_{8-4x} \mid 4x+1\mid \leqslant 1$$

Рационализация:

$$(8-4x-1)( \mid 4x+1\mid-8+4x) \leqslant 0$$

$$(7-4x)( \mid 4x+1\mid-8+4x) \leqslant 0$$

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ 4x-1\geqslant 0}\\{ (7-4x)(4x-1-8+4x) \leqslant 0}\end{matrix}}\\ {\begin{Bmatrix}{ 4x-1< 0}\\{ (7-4x)(-4x+1-8+4x) \leqslant 0}}\end{matrix}\end{matrix}$$

$$\begin{bmatrix}{\begin{Bmatrix}{ x\geqslant \frac{1}{4}}\\{ (7-4x)(8x-9) \leqslant 0}\end{matrix}}\\ {\begin{Bmatrix}{ x< \frac{1}{4}}\\{ (7-4x)\cdot(-9) \leqslant 0}}\end{matrix}\end{matrix}$$

Объединяя решения, получим то же самое:

Ко второму способу

$x \in \left(-\infty; \frac{1}{4}\right)\cup \left(\frac{1}{4};\frac{9}{8}]\cup (\frac{7}{4}; 2\right)$