Простая физика
Категория:
Неравенства (15) ...Два логарифмических неравенства
Неравенства несложные, но требующие большого внимания: наличествует корень, и нужно не забыть при его извлечении поставить знак модуля, а потом грамотно этот модуль раскрыть. Очень хороши для подготовки к заданию 15 профильного ЕГЭ.
Задача 1.
Решите неравенство:
$$\log_{(7m-7)^2} (2m+1)^2-\log_{7m-7} \frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0$$
Избавимся от степеней в первом логарифме:
$$\log_{7m-7} \mid2m+1\mid-\log_{7m-7} \frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0$$
Заменим разность логарифмов логарифмом частного:
$$\log_{7m-7} \frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>0$$
Так как логарифм по переменному основанию, то будем иметь два случая: первый - $7m-7>1$ и второй - $0<7m-7<1$.
В первом случае получим неравенство:
$$\log_{7m-7} \frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>\log_{7m-7} 1$$
$$\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>1$$
$$\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}-1>0$$
$$\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}>0$$
Пришла пора снимать модуль. Подмодульное выражение меняет знак в точке:
$$2m+1=0$$
$$m=-0,5$$
Тогда при $m \geqslant -0,5$ получим:
$$\frac{(2m+1)(7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}>0$$
$$\frac{7m-7-(-3m+8)}{(-3m+8)}>0$$
$$\frac{7m-7+3m-8)}{(-3m+8)}>0$$
$$\frac{10m-15)}{(-3m+8)}>0$$
Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.
Задача 1. Рисунок 1.
Получаем решение: $m \in (1,5; \frac{8}{3})$ - это решение попадает в интервал, на котором мы раскрывали модуль, берем его в предварительный ответ (предварительный – поскольку еще не определены допустимые значения подлогарифмических выражений) .
Тогда при $m < -0,5$ получим:
$$\frac{(2m+1)(7-7m)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}>0$$
$$\frac{7-7m-(-3m+8)}{(-3m+8)}>0$$
$$\frac{-1-4m}{(-3m+8)}>0$$
$$\frac{1+4m}{(-3m+8)}<0$$
Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.
Задача 1. Рисунок 2.
Решение этого неравенства: $m \in (-\frac{1}{4}; \frac{8}{3})$, но это решение не совпадает с интервалом, на котором раскрывали модуль: при $m < -0,5$.
Теперь вторая часть решения, при $0<7m-7<1$.
$$7<7m<8$$
$$1<m<\frac{8}{7}$$
Имеем:
$$\log_{7m-7} \frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}>\log_{7m-7} 1$$
$$\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}<1$$
$$\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)}{(-3m+8)(2m+1)}-1<0$$
$$\frac{\mid2m+1\mid (7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}<0$$
Раскрываем модуль. При $m \geqslant -0,5$ получим:
$$\frac{(2m+1)(7m-7)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}<0$$
$$\frac{7m-7-(-3m+8)}{(-3m+8)}<0$$
$$\frac{7m-7+3m-8)}{(-3m+8)}<0$$
$$\frac{10m-15)}{(-3m+8)}<0$$
Наносим точки на числовую прямую, расставляем знаки интервалов.
Задача 1. Рисунок 3.
Решение этого неравенства: $m \in (-\infty; 1,5) \cup(\frac{8}{3}; +\infty)$.
Но мы наложили ограничения на $m$: $1<m<\frac{8}{7}$ - поэтому именно этот интервал, попадающий в решение, и будет итоговым предварительным (до определения ОДЗ) решением данного неравенства.
При $m < -0,5$ получим:
$$\frac{(2m+1)(7-7m)-(-3m+8)(2m+1)}{(-3m+8)(2m+1)}<0$$
$$\frac{7-7m-(-3m+8)}{(-3m+8)}<0$$
$$\frac{-1-4m}{(-3m+8)}<0$$
$$\frac{1+4m}{(-3m+8)}>0$$
Решение - $m \in (-\frac{1}{4}; \frac{8}{3})$, но здесь мы не попали в интервал раскрытия модуля, ответ – пустое множество.
Задача 1. Рисунок 4.
Осталось объединить все полученные решения, не забыв про ОДЗ.
Определим допустимые значения подлогарифмических выражений:
$$\frac{(2m+1)(-3m+8)}{7m-7}>0$$
Расставив точки и знаки интервалов, имеем:
$m \in (-\infty; -\frac{1}{2}) \cup(1; \frac{8}{3})$.
Итак, в окончательный ответ берем:
$$m \in (1; \frac{8}{7}) \cup (1,5; \frac{8}{3})$$
Ответ: $m \in (1; \frac{8}{7}) \cup (1,5; \frac{8}{3})$.
Задача 2.
Решите неравенство:
$$\log_{\sqrt[7]{2}} \sqrt{ (-3z-3)^3(-2z+3)}-\log_{\sqrt[7]{2}} \sqrt{\frac{(-2z+3)^3}{-3z-3}} -14\geqslant 0$$
Заменим разность логарифмов логарифмом частного:
$$\log_{\sqrt[7]{2}} \sqrt{\frac{ (-3z-3)^4}{(-2z+3)^2}} \geqslant 14$$
Избавимся от корня в основании:
$$7\log_2 \sqrt{\frac{ (-3z-3)^4}{(-2z+3)^2}} \geqslant 14$$
$$\log_2 \sqrt{\frac{ (-3z-3)^4}{(-2z+3)^2}} \geqslant 2$$
Извлекаем корень, не забывая о модуле:
$$\log_2 {\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid}} \geqslant 2$$
Избавляемся от логарифма:
$$\log_2 {\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid}} \geqslant \log_2 4$$
$$\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid} \geqslant 4$$
$$\frac{ (-3z-3)^2}{\mid3-2z\mid}-4 \geqslant 0$$
$$\frac{ (-3z-3)^2-4\mid 3-2z \mid}{\mid3-2z\mid} \geqslant 0$$
Подмодульное выражение меняет знак в точке:
$$3-2z=0$$
$$z=1,5$$
При $z <1,5$ модуль снимаем со знаком «плюс»:
$$\frac{ (-3z-3)^2-4(3-2z)}{3-2z} \geqslant 0$$
$$\frac{ 9z^2+18z+9-12+8z)}{3-2z} \geqslant 0$$
$$\frac{ 9z^2+26z-3)}{3-2z} \geqslant 0$$
Разложим числитель на множители:
$$D=26^2-4\cdot9\cdot(-3)=784$$
$$z_{1,2}=\frac{-26 \pm \sqrt{784}}{18}=\frac{-13 \pm 14}{9}$$
$$z_1=\frac{1}{9}$$
$$z_2=-3$$
Расставляем точки и знаки интервалов.
Задача 2. Рисунок 1.
Решение этого неравенства: $z \in (-\infty; -3] \cup [\frac{1}{9}; 1,5)$. Это решение попадает в интервал, на котором мы раскрывали модуль.
Теперь раскроем модуль с отрицательным знаком на интервале $z \geqslant 1,5$:
$$\frac{ (-3z-3)^2+4(3-2z)}{2z-3} \geqslant 0$$
$$\frac{ 9z^2+18z+9+12-8z)}{2z-3} \geqslant 0$$
$$\frac{ 9z^2+10z+21)}{2z-3} \geqslant 0$$
Числитель всегда положителен, так как дискриминант его отрицательный, значит, его знак совпадает со знаком старшей степени $z$. Следовательно, решение неравенства - $z>1,5$.
Задача 2. Рисунок 2.
Точка 1,5 – полюс этой функции (корень знаменателя), поэтому она выколота. Решение попадает в интервал раскрытия модуля.
Определим допустимые значения подлогарифмических выражений:
$$(-3z-3)^3(-2z+3)>0$$
Корни – (-1) и 1,5. Следовательно, решением этого неравенства являются $z \in (-\infty; -1) \cup (1,5; +\infty)$.
Задача 2. Рисунок 3.
Поэтому из решения надо исключить полученный ранее интервал $[\frac{1}{9}; 1,5)$.
Ответ: $z \in (-\infty; -3] \cup (1,5; +\infty)$.