Метод рационализации - 4

ОДЗ: $x \neq -4$, $x \neq \frac{1}{5}$.

Рационализация:

$$\frac{(2x-6-(3x+5))(2x-6+(3x+5))}{(5x-1)(4+x)}<0$$

$$\frac{(-x-11)(5x-1)}{(5x-1)(4+x)}<0$$

$$\frac{(x+11)(5x-1)}{(5x-1)(4+x)}>0$$

Корень $x=\frac{1}{5}$ - корень четной кратности, поэтому в этой точке не поменяется знак интервала.

С учетом ОДЗ решение: $x \in (-\infty; -11)\cup(-4;0,2)\cup (0,2; \infty)$.

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{x+7>0}\\{x+4> 0}\\{x+4 \neq 1}\\{x^2+2x \neq 0}\\{ x^2+2x +1>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{x>-7}\\{x> -4}\\{x \neq -3}\\{x \neq 0}\\{ x \neq-2}\\{x \neq -1}\end{matrix}$$

В итоге ОДЗ $x \in (-4; -3)\cup(-3;-2)\cup (-2; -1) \cup (-1;0)\cup (0;\infty)$.

Решим само неравенство:

$$\frac{1}{\log_{x+7} (x+4)}- \frac{1}{\log_{ x+7 }  (x^2+2x+1)} \leqslant 0$$

$$\frac{\log_{ x+7 }  (x+1)^2-\log_{x+7} (x+4)}{\log_{x+7} (x+4)\cdot\log_{ x+7 }  (x+1)^2} \leqslant 0$$

Рационализация:

$$\frac{(x+7-1)( (x+1)^2- (x+4))(x+7-1)^2}{ (x+4-1)( (x+1)^2-1)} \leqslant 0$$

$$\frac{(x+6)^3(x^2+2x+1- x-4)}{ x(x+3)( x+2)} \leqslant 0$$

$$\frac{(x+6)^3(x^2+x-3)}{ x(x+3)( x+2)} \leqslant 0$$

$$\frac{(x+6)^3(x-\frac{-1-\sqrt{13}}{2})(x-\frac{-1+\sqrt{13}}{2})}{ x(x+3)( x+2)} \leqslant 0$$

Расставив знаки интервалов и учитывая ОДЗ, имеем:

$x \in (-4; -3)\cup[\frac{-1-\sqrt{13}}{2};-2)\cup (0; \frac{-1+\sqrt{13}}{2}]$.

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ x^2+2x -3\neq 1}\\{ x^2+2x -3>0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ (x+3)(x-1) >0}\\{ x^2+2x -4\neq 0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ (x+3)(x-1) >0}\\{ x\neq -1-\sqrt{5}}\\{x \neq -1+\sqrt{5}}\end{matrix}$$

$x \in (-\infty; -1-\sqrt{5})\cup(-1-\sqrt{5};-3)\cup (1; -1+\sqrt{5})\cup(-1+\sqrt{5};  \infty)$.

Рационализация:

$$\frac{( x^2+2x -3-1)(x^2+6x+5)}{ x^2+2x -4}>0$$

$$\frac{( x-1-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{5})(x+5)(x+1)}{ ( x-1-\sqrt{5})(x+1+\sqrt{5})}>0$$

Корни $-1-\sqrt{5}$ и $-1+\sqrt{5}$ - корни четной кратности, в них знаки интервалов меняться не будут.

С учетом ОДЗ решение неравенства

$x \in (-\infty; -5)\cup(1;-1+\sqrt{5})\cup (-1+\sqrt{5};\infty)$.

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ 5x^2+9x -2>0}\\{\frac{3x+1}{2(2x-1)}\neq 1}\\{ \frac{3x+1}{2(2x-1)}>0}\\{x \neq 0,5}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ (x+2)(x-0,2)>0}\\{\frac{3x+1-4x+2}{2(2x-1)}\neq 0}\\{ \frac{3x+1}{2(2x-1)}>0}\\{x \neq 0,5}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{ (x+2)(x-0,2)>0}\\{\frac{3-x}{2(2x-1)}\neq 0}\\{ \frac{3x+1}{2(2x-1)}>0}\\{x \neq 0,5}\end{matrix}$$

Получилась следующая ОДЗ:

$x \in (-\infty; -2)\cup (0,5; 3)\cup(3;\infty)$.

Рационализация:

$$(4x-2)\left(\frac{3x+1}{4x-2}-1 \right)(5x^2+9x-2-1)\leqslant 0$$

$$(4x-2)\left(\frac{3x+1-(4x-2)}{4x-2} \right)(5x^2+9x-3)\leqslant 0$$

$$(2x-1)\left(\frac{3-x}{2x-1} \right)(5x^2+9x-3)\leqslant 0$$

Корень $x=0,5$ - корень четной кратности, в этой точке знаки интервалов не поменяются.

Решение с учетом ОДЗ:

$x \in (\frac{-9-\sqrt{141}}{10}; -2)\cup(3;\infty)$.

ОДЗ:

$$\begin{Bmatrix}{ 3+x>0}\\{3+x\neq 1}\\{ x+4>0}\\{x \neq 1}\end{matrix}$$

$x \in (-3; -2)\cup(-2;\infty)$.

Решаем, рационализация:

$$\begin{Bmatrix}{\frac{(7-1)(x+2)}{(3-1)(x-1)}\leqslant 0}\\{ (3+x-1)(x+4-1)>0

}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix}{\frac{x+2}{x-1}\leqslant 0}\\{ (x+2)(x+3)>0

}\end{matrix}$$

Решения первого неравенства $x \in [-2; 1)$, решения второго $x \in (-\infty; -3)\cup(-2;\infty)$.

С учетом ОДЗ решение системы $x \in (-2; 1)$.