Неравенства (14 (С3))

Интересное неравенство. Поскольку экзамен претерпел изменения и неравенств в нем прибавилось, давайте тренироваться!

Задача. Решите неравенство.

log_{0,5} left(4left( 2^{mid x mid}-1right)^2+1right)}+frac{1}{2left(2^{mid...

Решаем сложное логарифмическое неравенство. Решение на основе свойства функций.

Решить неравенство:

Введем функцию

Эта функция убывает, поэтому

Так как , то

Ответ: $x in...

В этой статье приведен метод решения неравенств, называемый методом мажорант. Некоторые называют задачи на этот метод задачами на минимакс. Названия могут меняться, но суть - в оценке обеих частей неравенства.

Задача 1.

Решить неравенство:

Ограничения:

Оцениваем логарифм при данных :...

В этой статье разберем решение одного неравенства двумя способами. Но оба  - с применением метода замены множителя.

Решите неравенство:

Для решения выберем способ замены множителей. Перед его применением выпишем ограничения:

Теперь надо...

Логарифмическое неравенство, довольно сложное, да вот, сами судите:

Решить неравенство:

Разложим квадратные трехчлены на множители:

Корни

Корни

Тогда неравенство будет выглядеть так:

Переносим влево:

Переходим к логарифму по другому основанию:

Приводим...

Комбинированное неравенство с логарифмом.

Решить неравенство:

Решение:

Дробь больше нуля, если и числитель, и знаменатель одного знака. То есть либо

либо

Первый случай, .

log_2...

Неравенство очень интересное, довольно сложное, и с небольшим подвохом. А может, и не подвохом, а «запасным выходом». Потому как, если при решении вы «залезли в дебри», все сложно, дискриминанты не находятся или из них корни не извлекаются, то, возможно, есть лазейка, которую не видно «невооруженным...

Предлагаю решение двух неравенств, которые вызвали у меня интерес. Первое решается на основе свойств функций, второе - просто довольно сложное неравенство с модулем, и логарифм, кроме области определения, в решении не поучаствовал.

Задача 1.

Решить неравенство

Заметим, что правая и левая части в некотором роде...

Здесь мы рассмотрим графические решения нескольких систем неравенств. Умение решать такие задачи очень помогает впоследствии, при освоении задач с параметрами.

Задача 1.

  Найти площадь фигуры, задаваемой на плоскости множеством решений системы неравенств:

Перепишем иначе:

begin{Bmatrix}{ ygeqslant 1-frac{x}{3}}\{ yleqslant 4-frac{2x}{3}}\{...

Решим несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.

1.Решите cистему неравенств:

begin{Bmatrix}{log_{x^2} (x+100)-log_{x^2} 10>0

}\{ frac{mid x+5 mid-mid x+8 mid}{sqrt{x+10}-sqrt{10-x}}<0}end{matrix}

[spoiler]

ОДЗ:

ОДЗ системы неравенств:

Рационализация (второе...

Решим еще несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.

1.Решите неравенство:

Показать

2.Решите неравенство:

log_{x+4}...

Решим еще несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.

1. Решите неравенство:

Решение.

[spoiler]

Определим сначала ОДЗ:

Применим рационализацию:

К задаче 1

Отмечаем точки, расставляем знаки интервалов, и с учетом...

Продолжаем решать неравенства методом рационализации. Если этот метод требуется применить несколько раз подряд при решении одного неравенства - это можно и нужно сделать. Табличку замен можно посмотреть здесь.

Решите неравенство:

Решение.

[spoiler]

Определим сначала ОДЗ:

Вообще функция не является показательной. И существуют две точки зрения, оценивающие...

Рассмотрим неравенства, которые можно очень быстро и просто решить путем замены на равносильное. Тогда неравенства с модулями, радикалами, логарифмами, степенями становятся обычными рациональными.

Решим несколько неравенств методом рационализации. Табличку замен можно посмотреть здесь.

1.Решите неравенство:

Решение.

[spoiler]

Определим сначала ОДЗ:

begin{Bmatrix}{x neq -2}\{ x neq -1}\{...

Неравенство включает в себя логарифм по переменному основанию и модули. При раскрытии модуля не забывайте проверить принадлежность полученных корней рассматриваемому промежутку. Также помним: где логарифм - там ОДЗ!

Решите неравенство:

Применим обобщенный метод интервалов. Но сначала определим ОДЗ:

begin{Bmatrix}{ x^2-2x-3>0}\{ x^2-2x-3neq 1}\{frac{left |x right...

Когда мы решаем неравенства, то помним, что можно разделить неравенство на заведомо положительное выражение без смены знака, и на заведомо отрицательное - со сменой. Также известно, что можно умножить неравенство на положительное выражение. Именно это мы и будем использовать при решении приведенных ниже неравенств.

Задача. Решите...

Неравенства несложные, но требующие большого внимания: наличествует корень, и нужно не забыть при его извлечении поставить знак модуля, а потом грамотно этот модуль раскрыть. Очень хороши для подготовки к заданию 15 профильного ЕГЭ.

Задача 1.

Решите неравенство:

Избавимся от степеней в первом логарифме:

Заменим...

Неравенства - одна из сложных задач ЕГЭ, требующая больших знаний и большой внимательности. Особенно, если в неравенстве присутствует модуль, который необходимо грамотно снять.

Задача 1.

Решите неравенство:

Переписываем в более привычном виде:

Приводим к общему знаменателю левую часть:

left(frac{varphi+1-varphi-4}{(varphi+4)(varphi+1)}right)^2<frac{midvarphi ^2-7varphi  mid}{(varphi...

Решим несколько неравенств с модулем. Как правило, наличие модуля в неравенстве вызывает если не испуг, то напряжение (ну не любят обычно с модулем возиться), поэтому лишний раз потренируем решение такого вида неравенств.

Задача 1.

Решите неравенство:

Приведем к общему знаменателю … знаменатель.

frac{3mid upsilon+9...

Предлагаю сегодня рассмотреть интересный способ решения неравенств: метод оценки. Иногда применение такого метода существенно облегчает решение, и даже по сравнению с методом рационализации оно оказывается проще.

Задача 1.

Решим неравенство:

Сразу запишем ОДЗ:

ОДЗ: $x...

В статье собраны для вас четыре неравенства, которые являются несложными, но тем не менее достаточно интересными.

Задача 1.

Решите неравенство:

ОДЗ:

Перейдем к новому основанию:

Избавимся от степени:

Чтобы дробь была положительной, знаменатель должен быть отрицательным:

log_{frac{17}{19}} (-9h+4)< log_{frac{17}{19}}...

1.Решить неравенство:

ОДЗ:

Решение:

Так как основание логарифма больше 1, то знак неравенства сохраняем:

Ответ:

2.Решить неравенство:

ОДЗ:

Решение:

Так как основание логарифма меньше 1, то знак неравенства меняем:

Пересекаем решение и ОДЗ, имеем: $x in...

1.Решить неравенство.

ОДЗ:

Обозначим , тогда

Решение этого неравенства представлено на рисунке:

Решение неравенства

Теперь производим...

1.Решите неравенство.

Область допустимых значений:

Решение:

Решение

Ответ:

2.Решите неравенство.

Область допустимых значений:

Объединяем решения неравенств системы, определяющей ОДЗ неравенства:

[caption id="attachment_3983" align="alignnone" width="400"]

Решим небольшое неравенство, которое включает в себя как логарифмы, так и модули, и может быть решено с помощью метода рационализации.

Применяем метод рационализации:

Теперь надо определить, в...

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить систему неравенств:

Первое неравенство системы – несложное и не требует определения ОДЗ. Начнем с него.

Сделаем замену:

Четверть...

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить неравенство:

Обозначаем: log_2...

И еще немного неравенств… Обязательно помним про ОДЗ там, где есть корни, логарифмы, дроби!

Задание 1. Решить неравенство:

ОДЗ:

1)     

Определим четверть дискриминанта (второй коэффициент – четный):

Тогда недопустимыми значениями х являются:

...

Неравенства… Задания, которые, как правило, требуют повышенного внимания и аккуратности. Сегодня рассматриваем неравенства, простые и сложные, и одно уравнение.

Задание 1. Решить систему неравенств:

Решаем первое:

Вводим новую переменную:

Четверть дискриминанта:

Корни:

t_{1,2}={-{b/2} pm...

Решим сегодня несколько неравенств из заданий С3  ЕГЭ 2013.

Задание 1. Решить неравенство:

81 – это степень тройки, поэтому запишем неравенство так:

Введем новую переменную: , тогда:

Решаем, как обычное квадратное неравенство, сначала определяем корни квадратного уравнения:

Корни:

[caption id="attachment_3499" align="aligncenter" width="370"]

Предлагаю разбор двух заданий ЕГЭ-2007. Первое - уравнение, второе - неравенство.

1. Решите уравнение:

Cразу бросается в глаза показательная левая часть уравнения. Чтобы решить показательное уравнение, нам придется сначала упростить правую часть. В правой видим в знаменателе сумму кубов, давайте разложим ее по формуле приведения:

После упрощения имеем:

Так...