Задача про четыре сферы

Задача про сферы.

На сфере радиусом 6 выбраны такие три точки $A, B$ и $C$, что они образуют правильный треугольник со стороной 3. Каждая из выбранных точек является центром сферы радиуса 1.

а) Найдите радиус сферы, которая расположена вне большой и касается при этом всех четырех данных сфер;

б) Найдите радиус сферы, которая расположена внутри большой и касается при этом всех четырех данных сфер.

Решение.

Сфера радиусом 6 и маленькие сферки в углах треугольника

Давайте рассмотрим пирамиду $OABC$. Она правильная (правильный треугольник $ABC$ в основании), боковые ребра у нее равны 6 (радиусу сферы), а стороны основания – 3.

Правильная пирамида (углы основания - центры маленьких сфер)

Определим высоту (медиану, биссектрису) основания:

$$h=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3$$

Так как в такой правильной пирамиде вершина проецируется в точку пересечения медиан, найдем отрезок $BS$:

$$BS=\frac{2}{3}h=\frac{2}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot 3=\sqrt{3}$$

Тогда высота пирамиды

$$OS=\sqrt{OB^2-BS^2}=\sqrt{36-3}=\sqrt{33}$$

Надо заметить, что внешняя сфера коснется исходной отнюдь не в точке $S$! Точка $S$  -внутри первой сферы, так как $ABC$ - плоскость, а сфера выпукла. Нарисуем касание сфер. Тут важно, что их центры и точка $S$ - все на одной прямой:

Внешняя сфера, касающаяся остальных четырех

Рассмотрим треугольник $O_1BS$, он прямоугольный. $P$ - точка касания сфер. Отрезок $PS$ равен

$$PS=PO-OS=R-OS=6-\sqrt{33}$$

Для треугольника $O_1BS$ теорема Пифагора:

$$O_1S^2+SB^2=O_1B^2$$

$$(R+(6-\sqrt{33}))^2+3=(R+1)^2$$

$$R^2+2R(6-\sqrt{33})+(6-\sqrt{33}))^2+3=R^2+2R+1$$

$$2R(5-\sqrt{33})=1-36+12\sqrt{33}-33-3$$

$$R=\frac{71-12\sqrt{33}}{2(\sqrt{33}-5)}$$

Понятно, что для пункта б) наше уравнение изменится так:

$$O_2S^2+SB^2=O_2B^2$$

$$(R_1-(6-\sqrt{33}))^2+3=(R_1+1)^2$$

$$R_1^2-2R_1(6-\sqrt{33})+(6-\sqrt{33}))^2+3=R_1^2+2R_1+1$$

$$-2R_1(7-\sqrt{33})=1-36+12\sqrt{33}-33-3$$

$$R_1=\frac{71-12\sqrt{33}}{2(7-\sqrt{33})}$$

Ответ: а) $R=\frac{71-12\sqrt{33}}{2(\sqrt{33}-5)}$; б) $ R_1=\frac{71-12\sqrt{33}}{2(7-\sqrt{33})}$.