Хитрая задача про параллелепипед

Задача, в которой про параллелепипед известно не очень много, и которая, тем не менее, решается двумя способами.

Задача.

Имеется прямоугольный параллелепипед, про который известно, что $$3AB+4BC+10AA_1=500$$ И что диагональ параллелепипеда равна $BD_1=20\sqrt{5}$. Найти объем параллелепипеда.

Решение. Первый способ. Пусть ребра параллелепипеда $a,b,c$. Тогда $$3a+4b+10c=500$$ И $$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$$ То есть $$a^2+b^2+c^2=2000=500\cdot 4$$ Еще раз преобразуем: $$\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=500$$ Или $$\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}+\frac{c^2}{4}=3a+4b+10c$$ $$a^2+b^2+c^2=12a+16b+20c$$ $$a^2-12a+36+b^2-16b+64+c^2-20c+400=500$$ $$(a-6)^2+(b-8)^2+(c-10)^2=500$$ Получается, что

$$\Bigg\{ \begin{matrix} {a-6=\frac{a}{2}}\\{ b-8=\frac{b}{2}}\\{c-10=\frac{c}{2}}\end{matrix}$$ Откуда $a=12; b=16; c=40$, и $$V=abc=7680$$ Ответ: 7680. Другой способ: Уравнение $$a^2+b^2+c^2=(20\sqrt{5})^2$$ Представляет собой уравнение сферы. А уравнение $$3a+4b+10c-500=0$$ Представляет собой уравнение плоскости $\alpha$. Нормаль к этой плоскости будет иметь координаты $n(3; 4; 10)$. Расстояние от центра сферы, имеющего координаты $(0; 0; 0)$ до плоскости: $$\delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}=\frac{500}{20\sqrt{5}}=5\sqrt{5}$$ Получили расстояние, равное радиусу сферы – то есть сфера и плоскость касаются. А это значит, что нормаль к плоскости (перпендикуляр к ней) и радиус, проведенный в точку касания, коллинеарны. А это можно записать так: $$\frac{a}{3}=\frac{b}{4}=\frac{c}{10}=k$$ Где $(a; b; c)$ - координаты вектора, совпадающего с радиусом сферы, проведенным в точку касания. $$a=3k$$ $$b=4k$$ $$c=10k$$ $$3a+4b+10c=9k+16k+100k=500$$ $$125k=500$$ $$k=\frac{500}{125}=4$$ Тогда $a=12; b=16; c=40$, и $$V=abc=7680$$ Ответ: 7680.