Уравнение плоскости, перпендикулярной вектору

Несколько задач на получение уравнения плоскости.

Задача 1. Дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, про него известно, что $AB=5; DC=12; AA_1=14$. Задача: получить уравнение плоскости, проходящей через точку $B$ и перпендикулярной вектору $\vec{BD_1}$.

К задаче 1

Введем систему координат.  Начало совместим с точкой $A$, оси направим так, как показано на рисунке.

К задаче 1 - система координат

Определим координаты точки $B$: $B (0; 5; 0)$

Определим координаты точки $D_1$: $D_1 (5; 0; 14)$

Тогда координаты вектора $\vec{BD_1} \{5; -5; 14\}$. Этот вектор перпендикулярен плоскости, поэтому он может нам послужить нормалью $\vec{n} \{a; b; c\}$. Общее уравнение плоскости

$$ax+by+cz+d=0$$

С нормалью $\vec{BD_1} \{5; -5; 14\}$ уравнение примет вид:

$$5x-5y+14z+d=0$$

Теперь вспомним, что точка  $B$ принадлежит данной плоскости, поэтому можно подставить в данное уравнение ее координаты, чтобы определить постоянную $d$. Координаты точки $B$ $(0; 5; 0)$:

$$5\cdot 0-5\cdot5+14\cdot0+d=0$$

$$d=25$$

Тогда полностью уравнение плоскости будет выглядеть:

$$5x-5y+14z+25=0$$

Ответ: $5x-5y+14z+25=0$

Задача 2 для самостоятельного решения. Получить уравнение плоскости, проходящей через точку $A (-2; 0; 5)$ и перпендикулярной вектору $\vec{CP}\{1; 2; -2\}$.

Показать