Теорема Менелая при решении задачи 14

Теорема Менелая – прекрасное дополнение к вашему техническому арсеналу для решения задач ЕГЭ по стереометрии. Она позволяет найти отношение, в котором точка делит отрезок, легко и непринужденно, в одно действие. Попробуем применить ее для решения стереометрических задач.

Задача 1.

Точка $M$ лежит на ребре $AB$ треугольной пирамиды $ABCD$, причем $AM:MB=1:2$.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку $M$ и середины ребер $BC$ и $AD$.

Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $CD$?

К задаче 1

Построим сечение. Для этого (по методу следов) проведем луч $MR$ и луч $CA$ и найдем точку их пересечения - $S$. Через данную точку и точку $Q$ проведем луч $SQ$ - он принадлежит плоскости $ADC$. Этот луч пересечет отрезок $DC$ - назовем эту точку $T$.

Образовался четырехугольник сечения - $MQTR$.

Определим отношение, в котором точка $A$ делит отрезок $SC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая.

$$\frac{CR}{RB}\cdot\frac{BM}{MA}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$

$$\frac{1}{1}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{AS}{SC}=1$$

Откуда

$$\frac{AS}{SC}=\frac{1}{2}$$

То есть $A$ - середина $SC$.

Теперь найдем отношение, в котором точка $T$ делит отрезок $DC$. Для этого воспользуемся теоремой Менелая в плоскости $ADC$:

Сечение пирамиды плоскостью

$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{CS}{SA}\cdot\frac{AQ}{QD}=1$$

$$\frac{DT}{TC}\cdot\frac{2}{1}\cdot\frac{1}{1}=1$$

$$\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$$

Ответ: $\frac{DT}{TC}=\frac{1}{2}$.

Задача 2.

Точка $M$ - середина ребра $AD$ треугольной пирамиды $ABCD$. Точки $K$ и $L$ лежат на прямых $AB$ и $AC$ соответственно, причем $B$ - середина отрезка $AK$, а $C$ - середина отрезка $AL$.

А) Постройте сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $M$, $K$  и $L$.

Б) В каком отношении плоскость сечения делит ребро $BD$?

К задаче 2

Соединим точки $M$ и $L$, $M$ и $K$ - и обозначим точки пересечения этих лучей с ребрами $DC$ и $DB$ - $G$ и $F$. Получено сечение $MGF$.

Для треугольника $ADB$ и секущей $MK$ составим теорему Менелая:

Сечение в задаче 2

$$\frac{DG}{GB}\cdot\frac{BK}{KA}\cdot\frac{AM}{MD}=1$$

$$\frac{DG}{GB}\cdot\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{1}=1$$

$$\frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}$$

Ответ: $\frac{DG}{GB}=\frac{2}{1}$