Простая физика
Категория:
Стереометрия (14) ...Теорема Менелая для тетраэдра
В подобранных мною задачах применим теорему Менелая для тетраэдра.
Теорема Менелая в тетраэдре
$$\frac{AA_1}{A_1B}\cdot \frac{BB_1}{B_1C}\cdot\frac{CC_1}{C_1D}\cdot \frac{DD_1}{D_1A}=1$$
Это равенство выполняется, если, конечно, точки $A_1, B_1, C_1$ и $D_1$ принадлежат одной плоскости.
Задача 1. Дан тетраэдр ABCD. Точки M, N и K лежат на ребрах AD, AB и BC соответственно, причём $AM : MD = 2:3$, $BN : AN = 1:2$ и $BK : KC = 1:1$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNK. В каком отношении эта плоскость делит ребро CD?
Рисунок к задаче 1
Решение. Записываем Менелая:
$$\frac{AM}{MD}\cdot \frac{DP}{PC}\cdot\frac{CK}{KB}\cdot \frac{BN}{NA}=1$$
Следим, чтобы обход начинался и заканчивался в одной точке. Следуем от вершины к пересечению и снова к вершине.
$$\frac{2}{3}\cdot \frac{DP}{PC}\cdot\frac{1}{1}\cdot \frac{1}{2}=1$$
Откуда
$$\frac{DP}{PC}=\frac{3}{1}$$
Ответ: $\frac{DP}{PC}=\frac{3}{1}$.
Задача 2. Плоскость проходит через середины ребер AB и AC пирамиды ABCD и делит ребро BD в отношении 1:3. В каком отношении эта плоскость делит ребро CD?
Рисунок к задаче 2
Решение. Записываем Менелая:
$$\frac{AQ}{QC}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot\frac{DL}{LB}\cdot \frac{BF}{FA}=1$$
Следим, чтобы обход начинался и заканчивался в одной точке. Следуем от вершины к пересечению и снова к вершине.
$$\frac{1}{1}\cdot \frac{CR}{RD}\cdot\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{1}=1$$
Откуда
$$\frac{CR}{RD}=\frac{3}{1}$$
Ответ: $\frac{CR}{RD}=\frac{3}{1}$.
Задача 3. Дан тетраэдр ABCD. Точки M, N и P лежат на ребрах AD, AC и BC соответственно, причём $ DM : MA = 3:2$, $ AN : NC = 5:8$ и $CP : PB = 2:15$. Постройте сечение тетраэдра плоскостью MNP. В каком отношении эта плоскость делит ребро BD?
Рисунок к задаче 3
Решение. Записываем Менелая:
$$\frac{DM}{MA}\cdot \frac{AN}{NC}\cdot\frac{CP}{PB}\cdot \frac{BK}{KD}=1$$
Следим, чтобы обход начинался и заканчивался в одной точке. Следуем от вершины к пересечению и снова к вершине.
$$\frac{3}{2}\cdot \frac{5}{8}\cdot\frac{2}{15}\cdot \frac{BK}{KD}=1$$
Откуда
$$\frac{BK}{KD}=\frac{8}{1}$$
Ответ: $\frac{CR}{RD}=\frac{8}{1}$.