Стереометрия: три способа решения

Задача, предложенная в статье, решена несколькими способами. На экзамене надо выбирать тот, который вам кажется наиболее простым, но владеть нужно уметь всеми.

Задача. Сечением прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ плоскостью $\alpha$, содержащей прямую $BD_1$ и параллельной прямой $AC$, является ромб.

Докажите, что грань $ABCD$ - квадрат.

Найдите угол между плоскостями $\alpha$ и $BCC_1$, если $AA_1=6$, $AB=4$.

Рисунок 1

Решение. Для начала построим сечение. Так как оно содержит прямую $BD_1$, проведем эту прямую. Поскольку плоскость параллельна прямой $AC$, следовательно, она будет содержать прямую, параллельную $AC$.

Рисунок 2

Да еще такая параллельная должна пересекать прямую $BD_1$. Тогда, если мысленно провести такие прямые, можно убедиться, что пересечение ее с $BD_1$ будет обязательно лежать на середине $BD_1$. А следовательно, она будет средней линией трапеции $AA_1C_1C$. Таким образом, разделим ребра $AA_1$ и $CC_1$ пополам и проведем нужную прямую.

Рисунок 3

Середины ребер $AA_1$ и $CC_1$  -  точки $T$ и $U$ – будут вершинами ромба сечения. Построим само сечение:

Рисунок 5

Докажем пункт а). Поскольку $BUD_1T$ - ромб, его диагонали перпендикулярны. Следовательно, по теореме о трех перпендикулярах $BD \perp AC$, т.к. $AC \parallel UT$. Тогда $ABCD$ - прямоугольник с перпендикулярными диагоналями, а следовательно – квадрат.

Пункт б). Определим искомый угол тремя способами: классическим (через любую тригонометрическую функцию), через площадь сечения и ее проекцию, и координатным.

Начнем со второго, он представляется наиболее очевидным и простым. Построим проекцию сечения на плоскость $BCC_1$ - $BUC_1X$.

Рисунок 6

Определяем площадь проекции:

$$S_{pr}=UC_1 \cdot BC=3\cdot4=12$$

Определяем площадь ромба сечения по диагоналям:

$$S=\frac{1}{2}\cdot BD_1\cdot TU$$

Диагональ $TU=\sqrt{AB^2+BC^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}$, диагональ $BD_1$:

$$BD_1=\sqrt{AB^2+BC^2+AA_1^2}=\sqrt{4^2+4^2+6^2}=\sqrt{68}=2\sqrt{17}$$

$$S=\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{17}\cdot 4\sqrt{2}=4\sqrt{34}$$

Тогда косинус искомого угла равен

$$\cos{\alpha}=\frac{S_{pr}}{S}=\frac{12}{4\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}$$

Теперь определим этот же угол, но иначе. Линия пересечения плоскостей - $BU$. Чтобы найти интересующий нас угол, нужно провести к ней перпендикуляры в плоскостях $BCC_1$ и $BUD_1$.  В плоскости сечения это может быть  высота ромба. Определим ее: разделим площадь сечения на основание параллелограмма.

Рисунок 7

$$BU=\sqrt{BC^2+CU^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$$

$$ZU=\frac{S}{BU}=\frac{4\sqrt{34}}{5}$$

В плоскости $BCC_1$ такой прямой может быть $UN$ - высота параллелограмма $BUC_1X$.

$$UN=\frac{S_{pr}}{BU}=\frac{12}{5}$$

Тогда косинус искомого угла наклона равен:

$$\cos{\alpha}=\frac{UN}{ZU}=\frac{12\cdot5}{5\cdot4\sqrt{34}}=\frac{3}{\sqrt{34}}$$

Наконец, найдем данный угол с помощью координатного метода.

Введем систему координат и определим уравнение плоскости сечения. Совместим начало координат с точкой $A_1$. Направим ось $x$ вдоль ребра $A_1D_1$, ось $y$ - вдоль ребра $A_1B_1$, ось $z$ - вдоль $A_1A$.

Рисунок 8

Тогда координаты точек плоскости:

$$T(0; 0; 3), D_1(4; 0; 0), B(0; 4; 6)$$

Составляем систему уравнений для отыскания коэффициентов уравнения плоскости, плоскость не проходит через начало координат, $d=1$:

$$\begin{Bmatrix} {3c+1=0}\\{4a+1=0}\\{4b+6c+1=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix} {c=-\frac{1}{3}}\\{a=-\frac{1}{4}}\\{4b+6\cdot \left(-\frac{1}{3}\right)+1=0}\end{matrix}$$

$$\begin{Bmatrix} {c=-\frac{1}{3}}\\{a=-\frac{1}{4}}\\{b=\frac{1}{4}}\end{matrix}$$

То есть уравнение плоскости $-\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y-\frac{1}{3}z+1=0$, или

$$-3x+3y-4z+12=0$$

Тогда нормаль к плоскости имеет координаты: $\vec{n}(-3; 3; -4)$. Нормаль к плоскости $BCC_1$ $\vec{n_1} (0; -1; 0)$.

Находим косинус угла наклона плоскости:

$$\cos{\alpha}=\frac{\vec{n}\cdot\vec{n_1}}{\mid \vec{n_1}\mid\cdot \mid\vec{n}\mid}$$

$$\cos{\alpha}=\frac{\mid -3\cdot0+3\cdot(-1)-4\cdot0 \mid}{\sqrt{1}\cdot \sqrt{3^2+3^2+4^2}}=\frac{3}{\sqrt{34}}$$

Ответ: б) $\cos{\alpha}=\frac{3}{\sqrt{34}}$