Стереометрические близнецы

Близнецы - потому что похожи задачки.

Задача 1.

На ребре $SC$ пирамиды $SABC$ взяты точки $F$ и $E$, причем $SF:FE:EC=1:3:2$. Через точку $E$ проведена плоскость $\alpha$ параллельно плоскости $ABF$.

а) Докажите, что объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости $ABF$ и $\alpha$, относятся как $8:25:117$;

б) Найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $SBC$, если известно, что точка $S$ проектируется на середину стороны $AC=17$, $AB=9$, $BC=10$, а площадь грани $S_{SBC}=30$.

Решение. Сделаем рисунок.

Рисунок к задаче 1

Поскольку плоскости параллельны, то $KE \parallel AF$, $EN \parallel BF$. По теореме Фалеса $\frac{CE}{EF}=\frac{CN}{NB}$ и $\frac{CE}{EF}=\frac{CK}{KA}$.

Пусть тогда $CE=2x$, $EF=3x$, значит, $CK=2y$, $KA=3y$, а $CN=2z$, $NB=3z$.

Так как объем тетраэдра можно посчитать как одну шестую смешанного произведения векторов-ребер, исходящих из одной точки (то есть как одну шестую объема параллелепипеда, построенного на этих сторонах), то можно записать, что

$$V_{SABC}=k\cdot CS\cdot CA\cdot CB=k\cdot 6x\cdot 5y\cdot 5z=150k\cdot xyz$$

$$V_{CABF}= k\cdot CF\cdot CA\cdot CB=k\cdot 5x\cdot 5y\cdot 5z=125k\cdot xyz$$

$$V_{CEKN}= k\cdot CE\cdot CN\cdot CK=k\cdot 2x\cdot 2y\cdot 2z=8k\cdot xyz$$

Определим объем куска $SABF$:

$$V_{SABF}= V_{SABC}- V_{CABF}=150k\cdot xyz-125k\cdot xyz =25k\cdot xyz $$

Определим объем усеченной пирамиды $AFBKEN$:

$$V_{ AFBKEN}= V_{CABF}- V_{CEKN}=125k\cdot xyz-8k\cdot xyz=117k\cdot xyz$$

Вот и получились числа 8, 25 и 117: маленькая пирамидка – 8 частей, усеченная – 117 частей и обрезок $SABF$ - 25 частей. Доказано.

Теперь, чтобы решить пункт б), придется рисунок переделывать с учетом условий задачи.

Перестраиваем рисунок с учетом условий

Треугольник $ABC$, скорее всего, тупоугольный. Давайте его отдельно рассмотрим. Для этого сделаем выносной чертеж. Определим его площадь по Герону, авось пригодится:

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{18(18-17)(18-9)(18-10)}=\sqrt{9\cdot 2\cdot 9\cdot 8}=\sqrt{81\cdot 16}=9\cdot 4=36$$

Так как известна площадь грани $SBC$ и длина $BC$, то можно определить апофему: она равна 6. Апофема перпендикулярна $BC$, следовательно, ее проекция тоже перпендикулярна $BC$ по теореме о трех перпендикулярах.

Делаем построения на обоих рисунках одновременно.

Ищем длины и углы

Чтобы найти высоту пирамиды, неплохо бы знать $OH$. Для этого пригодились бы тригонометрические функции угла $C$. Давайте их определим с помощью теоремы косинусов.
$$AB^2=AC^2+BC^2-2AC\cdot BC\cdot \cos C$$

$$81=289+100-2\cdot 17\cdot 10\cdot \cos C$$

$$-308=-340\cdot \cos C$$

$$\cos C=\frac{308}{340}=\frac{154}{170}$$

Тогда

$$CH=CO\cdot \cos C=8,5\cdot \frac{154}{170}=\frac{154}{20}=7,7$$

По Пифагору

$$OH=\sqrt{CO^2-CH^2}=\sqrt{8,5^2-7,7^2}=\sqrt{12,96}=3,6$$

Удобнее считать через разность квадратов, кстати.

Теперь в треугольнике $SOH$ мы знаем гипотенузу и катет. Можно найти высоту пирамиды – она равна 4,8 (треугольник Египетский). Теперь воспользуемся методом объемов: то есть определим объем пирамиды, а потом с его помощью высоту, опущенную из точки $A$ на плоскость $SBC$.

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot SO=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 4,8=57,6$$

$$V= \frac{1}{3}S_{SBC}\cdot H_A$$

$$H_A=\frac{3V}{ S_{SBC}}=\frac{3\cdot 57,6}{30}=5,76$$

Угол между прямой $AC$ и плоскостью $SBC$ - угол между прямой и ее проекцией. Его синус будет равен

$$\sin \beta=\frac{H_A}{AC}=\frac{5,76}{17}=\frac{144}{425}$$

Ответ: б) $\beta=\arcsin{\frac{144}{425}}$.

 

Задача 2.

На ребре $MA$ пирамиды $MABC$ взяты точки $P$ и $Q$, причем $MP:PQ:QA=2:3:1$. Через точку $Q$ проведена плоскость $\alpha$ параллельно плоскости $BCP$.

а) Докажите, что объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости $BCP$ и $\alpha$, пропорциональны числам 1, 32 и 63;

б) Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $MAC$, если известно, что точка $M$ проектируется на середину стороны $AB=15$, $AC=20$, $BC=7$, а площадь грани $S_{SAC}=35$.

Решение. Сделаем рисунок.

Рисунок к задаче 2

Поскольку плоскости параллельны, то $PB \parallel QN$, $PC \parallel QK$. По теореме Фалеса $\frac{AQ}{QP}=\frac{AN}{NB}$ и $\frac{AQ}{QP}=\frac{AK}{KC}$.

Пусть тогда $AQ=x$, $QP=3x$, $PM=2x$, значит, $AK=y$, $KC=3y$, а $AN=z$, $NB=3z$.

Так как объем тетраэдра можно посчитать как одну шестую смешанного произведения векторов-ребер, исходящих из одной точки (то есть как одну шестую объема параллелепипеда, построенного на этих сторонах), то можно записать, что

$$V_{MABC}=k\cdot AM\cdot AB\cdot AC=k\cdot 6x\cdot 4z \cdot 4y =96k\cdot xyz$$

$$V_{ABCP}= k\cdot AP\cdot AB\cdot AC=k\cdot 4x\cdot 4z\cdot 4y=64k\cdot xyz$$

$$V_{AQNK}= k\cdot AQ\cdot AN\cdot AK=k\cdot x\cdot y\cdot z=k\cdot xyz$$

Определим объем куска $MBCP$:

$$V_{MBCP}= V_{MABC}- V_{ABCP}=96k\cdot xyz-64k\cdot xyz =32k\cdot xyz $$

Определим объем усеченной пирамиды $QNKPBC$:

$$V_{ QNKPBC}= V_{ABCP}- V_{AQNK}=64k\cdot xyz-k\cdot xyz=63k\cdot xyz$$

Вот и получились числа 1, 32 и 63: маленькая пирамидка – 1 часть, усеченная – 63 части и обрезок $MBCP$ - 32 части. Доказано.

Теперь, чтобы решить пункт б), придется рисунок переделывать с учетом условий задачи.

Пункт б) заставляет переделать рисунок:

Треугольник $ABC$, скорее всего, тупоугольный. Давайте его отдельно рассмотрим. Для этого сделаем выносной чертеж. Определим его площадь по Герону, пригодится:

$$S_{ABC}=\sqrt{p(p-AB)(p-AC)(p-BC)}=\sqrt{21(21-20)(21-15)(21-7)}=\sqrt{21\cdot 3\cdot 2\cdot 14}=\sqrt{21\cdot 21\cdot 4}=21\cdot 2=42$$

Так как известна площадь грани $SAC$ и длина $AC$, то можно определить апофему: она равна 3,5. Апофема перпендикулярна $AC$, следовательно, ее проекция тоже перпендикулярна $AC$ по теореме о трех перпендикулярах.

Делаем построения на обоих рисунках одновременно.

Ищем длины и углы

Чтобы найти высоту пирамиды, неплохо бы знать $OD$. Для этого пригодились бы тригонометрические функции угла $A$. Давайте их определим с помощью теоремы косинусов.
$$ BC^2=AC^2+ AB^2 -2AC\cdot AB\cdot \cos A$$

$$49=225+400-2\cdot 15\cdot 20\cdot \cos A$$

$$-576=-600\cdot \cos A$$

$$\cos A=\frac{576}{600}=\frac{144}{150}$$

Тогда

$$AD=AO\cdot \cos A=7,5\cdot \frac{144}{150}=\frac{144}{20}=7,2$$

По Пифагору

$$OD=\sqrt{AO^2-AD^2}=\sqrt{7,5^2-7,2^2}=\sqrt{4,41}=2,1$$

Удобнее считать через разность квадратов, кстати.

Теперь в треугольнике $MOD$ мы знаем гипотенузу и катет. Можно найти высоту пирамиды – она равна 2,8 (треугольник Египетский). Теперь воспользуемся методом объемов: то есть определим объем пирамиды, а потом с его помощью высоту, опущенную из точки $A$ на плоскость $SBC$.

$$V=\frac{1}{3}S_{ABC}\cdot MO=\frac{1}{3}\cdot 42\cdot 2,8=39,2$$

$$V= \frac{1}{3}S_{MAC}\cdot H_B$$

$$H_B=\frac{3V}{ S_{MAC}}=\frac{3\cdot 39,2}{35}=3,36$$

Угол между прямой $AB$ и плоскостью $MAC$ - угол между прямой и ее проекцией. Его синус будет равен

$$\sin \beta=\frac{H_B}{AB}=\frac{3,36}{15}=\frac{224}{1000}$$

Ответ: б) $\beta=\arcsin{0,224}$.

 

Задача 3.

На ребре $DB$ пирамиды $DABC$ взяты точки $M$ и $N$, причем $DM:MN:NB=2:1:2$. Через точку $N$ проведена плоскость $\alpha$ параллельно плоскости $ACM$.

а) Докажите, что объемы многогранников, на которые разбивают пирамиду плоскости $ACM$ и $\alpha$, пропорциональны числам 8, 18 и 19;

б) Найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $DBC$, если известно, что точка $D$ проектируется на середину стороны $AB=29$, $AC=25$, $BC=6$, а площадь грани $S_{DBC}=45$.

А эту предлагаю вам решить самостоятельно.

Ответ: б) $\beta=\arcsin{\frac{20\sqrt{5}}{87}}$.