Расстояние между скрещивающимися прямыми - 3

Задачи на определение расстояния между двумя скрещивающимися прямыми – самые сложные, пожалуй, из всех задач по стереометрии. Предлагаю короткую серию статей, где ряд таких задач будет решен различными способами – классикой, координатным, методом объемов.

Задача 1.

В правильной треугольной пирамиде $SABC$ сторона $AB=5, SA=3$. На ребрах $AB$ и $SC$ отмечены точки $K$ и $M$, причем $AK:KB=SM:MC=1:4$.

Плоскость $\alpha$ содержит прямую $KM$ и параллельна прямой $SA$.

А) Докажите,  что плоскость $\alpha$ делит ребро $AC$ в отношении $1:4$, считая от вершины $A$.

Б) Найдите расстояние между прямыми $SA$ и $KM$.

Пирамида

А) Построим плоскость $\alpha$. Для этого проведем через точку $K$ прямую, параллельную $BC$. Эта прямая пересечет прямую $AС$ в точке $N$. Через точку $M$ также проведем прямую, параллельную $BC$ - она пересечет ребро $SB$ в точке $L$. Плоскость $\alpha$, таким образом, параллельна прямой $SA$ и прямой $BC$. Поэтому данная плоскость будет делить все ребра, которые она пересекает, в одинаковом отношении: 1:4, согласно теореме Фалеса.

Б) Вводим систему координат и определяем координаты точек $A, N, S, M, K$.

Система координат

Координаты точки $A$ - $\{-2,5; 0; 0\}$, $K$ - $\{-2; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0\}$, $N$ - $\{-1,5; 0; 0\}$. Высоту пирамиды определим из треугольника $SOB$.

$$h=\sqrt{SB^2-BO^2}=\sqrt{9-\left(\frac{2}{3}H\right)^2}$$

Здесь $H$ - высота треугольника $ABC$, $H=\frac{5\sqrt{3}}{2}$.

$$h=\sqrt{9-\left(\frac{2}{3}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{2}\right)^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}$$

Теперь можно записать координаты точки $S$ - $\{0; \frac{5\sqrt{3}}{6}; \sqrt{\frac{2}{3}}\}$, и $M$ -  $\{0,5; \frac{4}{5}\cdot\frac{5\sqrt{3}}{6}; \frac{4}{5}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}\}$

Нам нужно найти расстояние от плоскости $\alpha#$, проходящей через точки $N, K, M$ и содержащей прямую $KM$, до прямой $AS$, то есть до произвольной точки данной прямой.

Теперь по трем точкам - $N, M, K$ - получим уравнение плоскости. Она не проходит через начало координат, поэтому $d\neq 0$.

$$\begin{Bmatrix}{-1,5a+d=0}\\{-2a+\frac{\sqrt{3}}{2}b+d=0}\\{0,5a+\frac{2\sqrt{3}}{3}b+\frac{4}{5}\cdot \sqrt{\frac{2}{3}}c+d=0}\end{matrix}$$

Получаем коэффициенты в уравнении плоскости

$$a=\frac{2}{3}$$

$$b=\frac{2d}{3\sqrt{3}}$$

$$c=-\frac{20}{9}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}d$$

Нормаль к плоскости $\vec{n}$ имеет координаты $\{\frac{2d}{3}; \frac{2d}{3\sqrt{3}}; -\frac{20}{9}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}}d \}$, или, сокращая на $d$, $\{\frac{2}{3}; \frac{2}{3\sqrt{3}}; -\frac{20}{9}\cdot \sqrt{\frac{3}{2}} \}$.

Определяем расстояние по формуле

$$\Delta=\frac{\mid ax_0+by_0+cz_0+d\mid}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$

используя при этом точку $A$.

$$\Delta=\frac{\mid \frac{2}{3}\cdot(-2,5) \mid}{\sqrt{\frac{4}{9}+\frac{4}{27}+\frac{200}{27}}}$$

$$\Delta=\frac{\frac{2}{3}}{\sqrt{\frac{216}{27}}}=\frac{\sqrt{2}}{6}$$

Ответ: $\Delta= \frac{\sqrt {2}}{6}$

Второй способ – воспользоваться формулой

$$V=\frac{1}{6}a b d \sin \varphi$$

Формула даст расстояние между ребрами $SA$ и $BC$, тогда искомое нами расстояние в 5 раз меньше, так как плоскость делит ребра в отношении 1:4, и, следовательно, прямая, содержащаяся в ней, ближе к $SA$ в пять раз, нежели $BC$. Здесь $a=BC=5$, $b=SA=3$, $d$  -искомое расстояние между скрещивающимися ребрами, $\sin \varphi=1$, так как в правильном тетраэдре противоположные ребра перпендикулярны, объем сейчас определим: площадь основания тетраэдра

$$S_{ABC}=\frac{a^2\sqrt{3}}{4}=\frac{25\sqrt{3}}{4}$$

Высота тетраэдра найдена ранее: $h=\sqrt{\frac{2}{3}}$. Тогда, согласно формуле,

$$d=\frac{6V}{ab\sin \varphi }=\frac{6\cdot\frac{1}{3}Sh}{ ab\sin \varphi }=\frac{2Sh}{ ab\sin \varphi }=\frac{25\sqrt{3}\cdot\sqrt{\frac{2}{3}}}{2\cdot 15}=\frac{5\sqrt{2}}{6}$$

Наше, искомое, расстояние, равно $\Delta= \frac{\sqrt {2}}{6}$.

И третий, классический, способ:

Проведем медиану треугольника $AKN$. Она же будет высотой в нем. Ее длина $\frac{\sqrt{3}}{2}$ - так как сторона треугольника равна 1. Из точки пересечения этой медианы с отрезком $KN$ опустим перпендикуляр на прямую $SA$. Длина этого перпендикуляра - $x$ - и есть искомое расстояние. Найдем $x$. Для этого понадобится какая-либо тригонометрическая функция угла $\beta$. Воспользуемся треугольником $ASO$. В нем $AS=3$, $SO=\sqrt{\frac{2}{3}}$, $AO=\frac{\sqrt{3}}{2}$ - как $\frac{2}{3}$ медианы треугольника $ABC$. Тогда

$$\sin{\beta}=\frac{SO}{SA}=\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}$$

Определяем $x$

$$x=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\sin{\beta}=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt {2}}{6}$$

Ответ: $\Delta= \frac{\sqrt {2}}{6}$