Построение сечения шестиугольной пирамиды

Здравствуйте, друзья! В этой статье предложено рассмотреть два случая построения сечения шестиугольной пирамиды. Пирамида всегда "рассекается" сложнее, чем призма, а чем больше у нее углов в основании, тем труднее. В первой задаче я постаралась пользоваться методом следов, а во второй  - преимущественно использован метод внутреннего проецирования. Так как чертежи насыщены построениями, я использовала разные цвета, и не всегда соблюдала правило "невидимое - пунктиром". Постараюсь сопроводить картинки подробным описанием.

Задача 1. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Точки $M$ и $L$ лежат в плоскости основания пирамиды, что для нас очень удобно. Проведем прямую $ML$, она пересечется с лучом $FA$ плоскости основания. За счет принадлежности обеим прямым - $LM$ и $FA$ точка $O$ принадлежит как плоскости грани $SAF$, так и секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Через точки $O$ и $N$ можем проводить прямую, она пересечет ребро $SA$ в точке $J$.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Так как прямая $FE$, также принадлежащая плоскости основания, не параллельна $ML$, то она пересечет эту прямую, и таким образом, можно было бы получить точку плоскости грани $FES$. Но пересечение этих прямых - за границами чертежа. Где невозможно применение метода следов, на помощь приходит метод внутреннего проецирования. Проведем прямую $NL$ и ее проекцию в плоскости основания - $FL$.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Проведем проекцию будущей прямой секущей плоскости - $BE$ (просто соединим вершины). $BE$ пересечет $LF$ в точке $I$, $ML$ - в точке $P$. Из точки $I$ поднимемся вверх до секущей плоскости  - построим перпендикуляр к плоскости основания $IR$. $R$ - точка прокола перпендикуляром секущей плоскости.

Задача 1. Шаг 4.

Шаг 5. Точка $P$ принадлежит секущей плоскости, точка $R$ - также. Проводим прямую $PR$. Прямая $PR$ пересечет ребро $SE$ в точке $S$ (поздно было переделывать картинку, пусть уж будет вторая точка $S$). Она принадлежит обеим плоскостям - и $SEF$, и $ESD$.

Задача 1. Шаг 5.

Шаг 6. Вернемся к методу следов. Проводим прямую $ED$, и ищем ее пересечение с $ML$. Это точка $K$. Она лежит в плоскости грани $ESD$.

Задача 1. Шаг 6.

Шаг 7. Проводим $SK$, эта прямая пересечет ребро $SD$ в точке $Q$.

Задача 1. Шаг 7.

Шаг 8. Соединим полученные точки отрезками.

Задача 1. Шаг 8.

Окончательный вид сечения с противоположной стороны.

Окончательный вид сечения.

Задача 2. Построить сечение правильной шестиугольной пирамиды плоскостью, проходящей через заданные точки.

Задача 2. Дано

Задача 2. Шаг 1. Проводим диагонали основания пирамиды $CF$, $BE$, $AD$. Из точек $L$ и $N$ секущей плоскости опускаем перпендикуляры к основанию, определяем точки $K$ и $H$, в которых эти перпендикуляры достигнут основания пирамиды.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Проводим прямые $LM$ и $MN$ секущей плоскости и их проекции $MK$ и $MH$. Проекцией прямой $LN$ будет прямая $KH$. Определяем точку пересечения $KH$ и $DA$, и из этой точки поднимаем перпендикуляр до пересечения с $LN$ - получили точку $I$.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Из точки $Z$, которая является пересечением диагонали $CF$ и проекции $KM$, поднимаем перпендикуляр до пересечения с $LM$ - получаем точку $Y$. Из точки $J$, которая является пересечением диагонали $BE$ и проекции $MH$, поднимаем перпендикуляр до пересечения с $MN$ - получаем точку $P$. Через точки $L$ и $P$ проведем прямую, которая пересечет ребро пирамиды $SB$ в точке $Q$.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Через точки $N$ и $Y$ также проведем прямую. Определим место пересечения ею ребра $SF$ - точку $R$. Осталось найти две точки - на ребре $FA$  и на ребре $SD$.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Проведем прямую $CB$ - продолжение ребра основания. Также через точки $N$ и $Q$ проведем прямую, принадлежащую грани $SCB$. Найдем место пересечения прямых $NQ$ и $CB$ - точку $P_1$.

Задача 2. Шаг 5.

Шаг 6. Через точки $P_1$ и $M$ секущей плоскости, лежащие в основании, проводим прямую, которая пересечет ребро $FA$ в точке $Q_1$.

Задача 2. Шаг 6.

Шаг 7. Прямая  $P_1M$ пересечет продолжение диагональ $DA$ в точке $R_1$. Проведем прямую через точки $R_1$ и $I$, чтобы определить точку пересечения этой прямой с ребром $SD$ - точку $T_1$.

Задача 2. Шаг 7.

Шаг 8. Соединяем все точки отрезками.

Задача 2. Шаг 8.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид