Пошаговое построение сечения четырехугольной пирамиды

Сегодня научимся строить сечения четырехугольной правильной пирамиды. Использовать для построения будем метод следов. Пользоваться этим методом  неудобно и даже иногда невозможно, когда сечение имеет малый наклон или не имеет наклона к плоскости основания. Если такой случай вам попадется, лучше использовать метод внутреннего проецирования.

Задача 1.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через точки  $M,O,N$.

Задача 1. Дано

Шаг 1. Через точки $M$ и $N$, принадлежащие плоскости грани $SAD$, проведем прямую $MN$. Определим точку плоскости основания пирамиды, которая бы принадлежала и секущей плоскости. Для этого проведем продолжение ребра $AD$ и найдем точку его пересечения с прямой $MN$ - точка $P$.

Задача 1. Шаг 1.

Шаг 2. Аналогично найдем вторую точку секущей плоскости в плоскости основания: проводим  прямую $ON$, находим ее пересечение с продолжением ребра $CD$ - точка $Q$.

Задача 1. Шаг 2.

Шаг 3. Через две точки можно провести прямую, и, так как точки $Q$ и $P$ принадлежат и секущей плоскости, и плоскости основания, то и прямая, проведенная через них, будет принадлежать обеим плоскостям. А раз эта прямая лежит в плоскости основания, то определим точки пересечения этой прямой с другими прямыми плоскости основания, например, с продолжением ребра $AB$ - точка $R$, и продолжением ребра $BC$ - точка $H$. Значит, точки  $R$ и $H$ - тоже точки плоскости сечения, а за счет того, что прямая $AB$ лежит в плоскости грани $ASB$, точка $R$ также принадлежит плоскости этой грани. Аналогично, так как прямая $BC$ принадлежит плоскости грани $SBC$, то и точка $H$ - точка этой же плоскости. Теперь можно соединить точки $R$ и $M$ - как точки одной плоскости, и соединить точки $O$ и $H$.

Задача 1. Шаг 3.

Шаг 4. Пересечение прямых $RM$ и $OH$ даст нам последнюю точку искомого сечения - точку $T$.

Задача 1. Шаг 4.

Проводим отрезки $MT$, $TO$, завершая построение:

Многоугольник сечения

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид

Задача 2.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через точки  $G, H, L$.

Задача 2. Дано

Шаг 1. Проводим прямую $GH$, она принадлежит грани $ASB$, так как точки $G$ и $H$ принадлежат ей.

Задача 2. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая $GH$ пересечет прямую $AB$, и точка их пересечения  $F$ благодаря принадлежности прямой $AB$ будет лежать в  плоскости основания.

Задача 2. Шаг 2.

Шаг 3. Точки $F$ и $L$ принадлежат плоскости основания, проведем через них прямую $FL$,  найдем точку пересечения этой прямой ребра $BC$ - точку $M$. Продлим прямую $FL$ до пересечения с прямой $AD$, получим точку $E$. Точка $E$ принадлежит плоскости $ASD$, тк как этой плоскости принадлежит прямая $AD$.

Задача 2. Шаг 3.

Шаг 4. Соединим точки $G$ и $E$. Найдем место пересечения данной прямой ребра $SD$ - точку $N$.

Задача 2. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки отрезками.

Задача 2. Шаг 5.

Окончательный вид с другого ракурса:

Окончательный вид сечения

Задача 3.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через точки  $G, H, J$.

Задача 3. Дано

Шаг 1. Соединим $H$ и $J$, как точки одной плоскости.

Задача 3. Шаг 1.

Шаг 2. Прямая $JH$ принадлежит плоскости грани $SAB$, следовательно, пересечет прямую этой же грани $SA$. Найдем точку их пересечения $E$, продлив ребро  $SA$.

Задача 3. Шаг 2.

Шаг 3.  Точки $E$ и $G$ - "одного поля ягоды" - обе принадлежат плоскости грани $SAD$. Поэтому соединим их, отметив точку пересечения с ребром $AD$ - $F$.

Задача 3. Шаг 3.

Шаг 4. Точки $F$ и $J$ принадлежат плоскости основания, соединяем их.  Прямая $JF$ лежит в плоскости основания и пересечет прямую $CD$  в точке $M$.

Задача 3. Шаги  4-5.

Шаг 5. Точки $M$ и $G$ соединяем, так как обе они принадлежат плоскости $SDC$, и получаем последнюю точку сечения - $I$ на ребре $SC$.

Шаг 6. Соединяем точки отрезками.

Задача 3. Шаг 6.

Окончательный вид сечения:

Окончательный вид сечения

Задача 4.

Построить сечение четырехугольной правильной пирамиды $SABCD$ плоскостью, проходящей через точки  $M,J,N$.

Задача 4. Дано.

Шаг 1-2. Точки $N$ и $M$ принадлежат грани $SDC$, соединим их отрезком (прямой). Точки $M$ и $J$ принадлежат грани основания, также соединим их.

Задача 4. Шаги 1-2

Шаг 3. Прямая $MJ$ пересечет продолжение ребра $AD$ в точке $K$. Точка $K$, таким образом, принадлежит плоскости грани $SAD$.

Задача 4. Шаг 3.

Шаг 4.  Соединяем точки $N$ и $K$, проводя прямую $NK$. Она пересечет ребро $SA$ в точке $L$.

Задача 4. Шаг 4.

Шаг 5. Соединяем полученные точки на ребрах отрезками:

Задача 4. Шаг 5.

Окончательный вид с удобного ракурса:

Окончательный вид