Пирамида

В этой статье решим несколько стереометрических задач.

Задача 1.

Основанием пирамиды является равнобедренная трапеция с основаниями 6 см и $4\sqrt{6}$ см и высотой 5 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 13 см. Найдите ее высоту.

Решение. Очевидно, что все боковые стороны пирамиды – равнобедренные треугольники. В том числе и те, которые имеют своим основанием основания трапеции.

К задаче 1

Найдем высоты этих двух треугольников - $SG$ и $SF$.

$$SG=\sqrt{SC^2-GC^2}=\sqrt{13^2-3^2}=\sqrt{160}$$

$$SF=\sqrt{SD^2-FD^2}=\sqrt{13^2-(2\sqrt{6})^2}=\sqrt{145}$$

Так как $SG\perp BC$ и $SF\perp AD$ ($SG$ и $SF$ - высоты соответствующих треугольников), то $GF$ - высота трапеции, которая по данным задачи равна 5. Таким образом, треугольник $GSF$ - «осевое» сечение пирамиды и его высота и будет высотой пирамиды. Осталось ее найти. Для этого определим площадь этого треугольника и затем, зная его основание, определим высоту.

Рассчитаем треугольник $GSF$  по теореме косинусов, чтобы узнать  угол при его вершине $S$.

$$GF^2=SG^2+SF^2-2\cdot SG\cdot SF\cos(GSF)$$

$$5^2=160+145-2\cdot \sqrt{160}\cdot \sqrt{145}\cos(GSF)$$

$$\cos(GSF)=\frac{140}{\sqrt{160}\cdot \sqrt{145}}=\frac{7}{\sqrt{58}}$$

Тогда через основное тригонометрическое тождество

$$\sin(GSF)=\frac{3}{\sqrt{58}}$$

Удвоенная площадь треугольника $GSF$ равна

$$2S= SG\cdot SF\sin(GSF)=GF\cdot H$$

Откуда

$$H=\frac{ SG\cdot SF\sin(GSF)}{ GF }=\frac{\sqrt{160}\cdot \sqrt{145}\cdot 3}{\sqrt{58}\cdot5}=12$$
Ответ: высота пирамиды 12.

Задача 2.

Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды образует угол в $60^{\circ}$ с плоскостью основания. Найдите площадь поверхности пирамиды, если боковое ребро равно 12 см.

К задаче 2

Решение. Если с плоскостью основания боковое ребро образует угол в $60^{\circ}$, значит, с высотой – угол в $30^{\circ}$. А против угла в $60^{\circ}$ лежит катет, равный половине гипотенузы – значит, половина диагонали основания пирамиды – 6. А вся диагональ – 12. Площадь основания найдем по формуле для ромба:

$$S=\frac{1}{2}d_1d_2=\frac{1}{2}\cdot 144=72$$

Если диагональ основания равна 12, то сторона основания – в $\sqrt{2}$ раз меньше и равна $6\sqrt{2}$. Следовательно, апофема пирамиды –

$$h=\sqrt{l^2-\frac{a^2}{4}}$$

Где $h$ - апофема, $l$ - боковое ребро, $a$ - сторона основания.

$$h=\sqrt{12^2-18}=\sqrt{144-18}=\sqrt{126}=3\sqrt{14}$$

Площадь боковой поверхности пирамиды будет равна

$$S_{bok}=4\cdot\frac{ah}{2}=2ah=2\cdot 6\sqrt{2}\cdot 3\sqrt{14}=72\sqrt{7}$$

Полная площадь поверхности равна

$$S_p=S+ S_{bok}=72+72\sqrt{7}$$

Ответ: $S_p=72(1+\sqrt{7})$.

Задача 3.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой грани к плоскости основания равен $60^{\circ}$. Найдите боковое ребро пирамиды.

К задаче 3

Решение. Если угол наклона грани к плоскости основания равен $60^{\circ}$, то треугольник, выделенный рыжим, не только равнобедренный, но и правильный. Поэтому апофема пирамиды равна 6. А боковое ребро, следовательно, $\sqrt{45}$.

Ответ: $3\sqrt{5}$.

Задача 4.

Основанием пирамиды является параллелограмм со сторонами 5 м и 4 м и меньшей диагональю 3 м. Высота пирамиды проходит через точку пересечения диагоналей основания и равна 2 м. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.

К задаче 4

Решение. Так как меньшая диагональ параллелограмма равна 3, то стороны параллелограмма и его диагональ образуют египетский треугольник, площадь которого 6, а площадь параллелограмма, таким образом, 12.

Зная площадь параллелограмма, найдем его высоты: $h_1=3$, $h_2=2,4$. Если провести обе высоты через точку пересечения диагоналей, то высоты боковых граней обязательно «придут» в точки пересечения высот со сторонами (по теореме о трех перпендикулярах). Поэтому, зная высоту пирамиды и длины половинок высот основания, можно определить длины апофем боковых граней.

Например,   $OF$ и $OH$ равны

$$OF=OH=1,5$$

Высоты граней $DAS$ и $CBS$

$$SF=SH=\sqrt{2^2+1,5^2}=2,5$$

Площади этих граней будут равны 5.

Отрезки $GO$ и $OK$

$$GO=OK=1,2$$

Высоты граней $DSC$ и $ABS$

$$SK=SG=\sqrt{2^2+1,2^2}=\frac{2\sqrt{34}}{5}$$

Площади этих граней будут равны

$$S_{DCS}=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot\frac{2\sqrt{34}}{5}=\sqrt{34}$$

Определяем полную площадь поверхности пирамиды:

$$S_{poln}=12+5+5+2\sqrt{34}=22+2\sqrt{34}$$

Ответ: $S_{poln}=22+2\sqrt{34}$

Задача 5.

Основанием пирамиды является квадрат, одно из боковых ребер перпендикулярно к плоскости основания. Плоскость боковой грани, не проходящей через высоту пирамиды, наклонена к плоскости основания под углом $45^{\circ}$. Наибольшее боковое ребро равно 12 см. Найдите: а) высоту пирамиды; б) площадь боковой поверхности пирамиды.

К задаче 5

Решение. $ED$ - это диагональ параллелепипеда, из которого «вырезана» данная пирамида. Угол $EAB$ равен $45^{\circ}$, следовательно, $AB=BC=BE$, то есть $ED=12$ - диагональ куба. Сторона этого куба, следовательно, равна $4\sqrt{3}$. Площадь боковой поверхности будет складываться из площадей четырех прямоугольных треугольников. Два из них - $ABE$ и $BEC$ - имеют площади по $\frac{1}{2}\cdot (4\sqrt{3})^2=24$, а другие 2 - $AED$ и $CED$ - имеют один катет $4\sqrt{3}$, а второй $4\sqrt{6}$, и площадь, соответственно, $24\sqrt{2}$. Полная площадь боковой поверхности этой пирамиды будет равна $48\sqrt{2}+48$.

Ответ: $S=48\sqrt{2}+48$.

Задача 6.

Основанием пирамиды $DABC$ является треугольник $ABC$, у которого $AB =AC =13$ см, $BC= 10$ см; ребро $АD$ перпендикулярно к плоскости основания и равно 9 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

К задаче 6

Решение. Треугольники $ABD$ и $ADC$ прямоугольные. Их площади равны

$$S_{ABD}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD=\frac{1}{2}\cdot 13\cdot 9=58,5$$

Треугольник $BDC$ - равнобедренный, с основанием 10 и боковой стороной, равной $\sqrt{250}$. Его высота $DF$ может быть найдена по теореме Пифагора:

$$DF=\sqrt{DC^2-FC^2}=\sqrt{250-25}=15$$

Его площадь равна

$$S=FC\cdotDF=5\cdot15=75$$

Площадь боковой поверхности этой пирамиды равна $58,5\cdot 2+75=192$.

Ответ: 192.