Определение расстояния от точки до плоскости с помощью объемов

Сегодня рассмотрим несколько задач, где необходимо найти расстояние от точки до плоскости. Для этого будем использовать метод объемов.

Задача 1.

Высота правильной четырехугольной призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна 8, а сторона основания равна $6\sqrt{2}$. Найдите расстояние от вершины $A$ до плоскости $A_1BD$.

Решение:

К задаче 1

Искомое расстояние – высота пирамиды $A_1BDA$, опущенная из вершины $A$. Нам даже не надо ее с троить или знать, в какую точку она придет. Нам нужен только объем пирамиды $A_1BDA$ и площадь треугольника $A_1BD$. Определяем объем пирамиды $A_1BDA$. Ее основание – треугольник $ABD$, объем будет равен

$$V=\frac{1}{3}S_{ABD}\cdot AA_1=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot (6\sqrt{2})^2\cdot 8=\frac{1}{6}\cdot 72\cdot 8=96$$

С другой стороны, объем этой пирамиды равен

$$V=\frac{1}{3}S_{A_1BD}\cdot AH$$

Тогда

$$AH=\frac{3V}{ S_{A_1BD}}$$

Треугольник $A_1BD$ - равнобедренный. Его основание $BD=12$ (по Пифагору), а высоту $AO$ мы найдем из треугольника $A_1AO$:

$$A_1O^2=AA_1^2+AO^2$$

$$ A_1O^2=8^2+6^2$$

$$ A_1O=10$$

Таким образом, $A_1O=10$, $ S_{A_1BD}=\frac{1}{2}\cdot 12\cdot 10=60$,

$$AH=\frac{3V}{ S_{A_1BD}}=\frac{3\cdot96}{60}=4,8$$

Ответ: 4,8.

Задача 2.

Основанием прямой призмы $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является ромб $ABCD$ , $AB =10 , BD =12$ . Высота призмы равна 6. Найдите расстояние от центра грани $ABCD$ до плоскости $BDC_1$.

Решение:

К задаче 2

Искомое расстояние – высота пирамиды $OC_1BD$, опущенная из вершины $O$. Нам даже не надо ее с троить или знать, в какую точку она придет. Нам нужен только объем пирамиды $OC_1BD$ и площадь треугольника $C_1BD$. Определяем объем пирамиды $ OC_1BD $. Ее основание – треугольник $OBD$, объем будет равен

$$V=\frac{1}{3}S_{OBD}\cdot OC_1$$

Прямая $OC_1$ перпендикулярна плоскости $OBD$, так как она принадлежит плоскости $A_1C_1C$, которая перпендикулярна плоскости $B_1D_1D$.

Чтобы найти объем пирамиды  $ OC_1BD $, вырежем ее из половины призмы $BDCB_1D_1C_1$. Объем данной призмы равен

$$V_{0,5}=S_{BDC}\cdot H=\sqrt{16(16-10)^2(16-12)}\cdot 6=288$$

Отрезаем от нее две одинаковые по объему пирамидки $BB_1OC_1$ и $DD_1OC_1$.

$$V_{ BB_1OC_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{B_1OC_1}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8\cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 48\cdot 6=48$$

Также надо отрезать пирамиду $BDCC_1$ (снизу, под плоскостью). Ее объем равен

$$V_{ BDCC_1}=\frac{1}{3}\cdot S_{BDC}\cdot H=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}\cdot 12\cdot 8\cdot 6=\frac{1}{6}\cdot 48\cdot 12=96$$

К задаче 2 - отсеченные объемы

Таким образом, объем $ OC_1BD $ равен

$$V_{ OC_1BD}= V_{0,5}-2 V_{ BB_1OC_1}- V_{ BDCC_1}=288-2\cdot 48-96=96$$

С другой стороны, объем этой пирамиды равен произведению площади треугольника $BDC_1$ на $\frac{1}{3}$ и высоту, опущенную на треугольник $BDC_1$ из точки $O$.

$$V_{ OC_1BD}=\frac{1}{3}\cdot S_{ BDC_1}\cdot h$$

$$h=\frac{ 3V_{ OC_1BD}}{ S_{ BDC_1}}$$

Определим площадь $S_{ BDC_1}$. Его основание равно 12, а высота может быть найдена из прямоугольного треугольника $HCC_1$:

$$HC_1=\sqrt{HC^2+CC_1^2}=\sqrt{8^2+6^2}=10$$

$$S_{ BDC_1}=\frac{1}{2}\cdot BD \cdot HC_1=\frac{1}{2}\cdot 12 \cdot 10=60$$

Искомое расстояние

$$h=\frac{ 3V_{ OC_1BD}}{ S_{ BDC_1}}=\frac{3\cdot 96}{60}=4,8$$

Ответ: 4,8.

Задача 3.

В правильной четырехугольной призме $ABCDA_1B_1C_1D_1$ сторона основания равна $\sqrt{2}$,  а высота равна 1 . $M$ - середина $AA_1$. Найдите расстояние от точки $M$ до плоскости $DA_1C_1$.

Решение: определим искомое расстояние как расстояние от точки $O$ до плоскости. Проведем через точку $M$ прямую, параллельную $A_1C_1$.

К задаче 3

Точка $O$ - центр призмы и лежит на середине отрезка $MN$. Так как прямая $MN$ параллельна плоскости, то любая ее точка равноудалена от нее. Рассмотрим треугольник $EHD$. Сделаем выносной чертеж. В нем искомое расстояние - $OF$. Из подобия треугольников $EOF$ и $EHD$

$$\frac{HD}{OF}=\frac{ED}{EO}$$

$$OF=\frac{HD\cdot EO}{ED}$$

Так как сторона основания равна $\sqrt{2}$, то диагональ основания равна 2. А $HD=1$. По условию $EH=1$, $EO=0,5$.

$$ED=\sqrt{EH^2+HD^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$$

$$OF=\frac{HD\cdot EO}{ED}=\frac{0,5}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}$$

Ответ: $OF=\frac{1}{2\sqrt{2}}$.