Определение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным способом (с определителем)

Предлагаю вашему вниманию несколько задач по стереометрии на определение расстояния между скрещивающимися прямыми координатным способом. Будем пользоваться определителями для расчета.

Задача 1.

В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ точка $O_1$ — центр квадрата $ABCD$, точка $O_2$ — центр квадрата $CC_1D_1D$.

а) Докажите, что прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ скрещиваются.

б) Найдите расстояние между прямыми $A_1O_1$ и $B_1O_2$ , если ребро куба равно 1.

а) Решение. Прямая $A_1O_1$ лежит в плоскости $ACA_1C_1$ , при этом точки $B_1$ и $O_2$ не лежат в этой плоскости, то есть прямая $B_1O_2$ не принадлежит данной плоскости. Кроме того, прямая $A_1O_1$ не параллельна плоскости $ACA_1C_1$  ($B_1$ и $O_2$ лежат по разные стороны относительно этой плоскости), следовательно, прямая $B_1O_2$ пересекает плоскость $ACA_1C_1$ , а прямые $A_1O_1$ и $B_1O_2$ скрещиваются.

б) Расстояние между прямыми найдем с помощью координатного метода. Для этого нужно 1): ввести систему координат и определить координаты направляющих векторов прямых $A_1O_1$ и $B_1O_2$. Затем (2) найти координаты вспомогательного вектора, одна из точек которого принадлежит вектору $A_1O_1$, вторая -  $B_1O_2$. После определения координат векторов нужно найти их смешанное произведение (3). Мы для этого составим и рассчитаем определитель. Полученное число будем трактовать как объем параллелепипеда, построенного на трех векторах. Затем (4) получим уравнение плоскости (опять с помощью определителя), и найдем длину нормали к плоскости. Для расчета расстояния останется разделить «объем» на длину нормали (5).

Кажется сложным, но вот увидите – мы очень быстро справимся!

Делаем!

1) Вводим систему координат.

Координаты точек: $A_1 (0;0;0), O_1 ( 0,5; 0,5; 1), B_1 (0; 1; 0), O_2 (1; 0,5; 0,5)$.

Координаты вектора $A_1O_1$ $( 0,5; 0,5; 1)$, координаты вектора $B_1O_2$ - $(1; -0,5; 0,5)$.

2) Пусть вспомогательный вектор будет $A_1B_1$. Его координаты $(0; 1; 0)$.

3) Определяем смешанное произведение. Составим определитель:

$$s=\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}$$

Рассчитывать определитель очень удобно по правилу Саррюса, для этого необходимо первые два столбца определителя приписать к нему справа:

$$s=\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \\ 1 & -0,5\\ 0 & 1 \end{matrix}$$

Теперь перемножаем цифры, стоящие на главной диагонали и двух параллельных ей линиях и складываем полученные произведения (вдоль красных линий). Перемножаем цифры, стоящие на побочной диагонали (вдоль синих линий) и двух параллельных ей линиях и вычитаем все эти произведения из предыдущей суммы:

$$s=\begin{vmatrix} 0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5\\ 0 & 1 & 0 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0,5 & 0,5 \\ 1 & -0,5\\ 0 & 1 \end{matrix}=0,5\cdot (-0,5)\cdot 0+0,5\cdot 0,5\cdot 0+1\cdot 1 \cdot 1-1\cdot(-0,5)\cdot 0-1\cdot 0,5 \cdot 0,5-0 \cdot 1 \cdot 0,5=0,75$$

4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: $A_1O_1$ и $B_1O_2$.

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем его по правилу Саррюса:

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0,5 & 0,5 &1\\ 1 & -0,5 & 0,5 \end{vmatrix}\begin{matrix} i & j \\ 0,5 & 0,5\\ 1 & -0,5 \end{matrix}=$$

$$=i\cdot0,5\cdot 0,5+j\cdot 1\cdot 1+k\cdot 0,5\cdot (-0,5)-k\cdot 0,5\cdot 1-i\cdot1\cdot (-0,5)-j\cdot0,5\cdot 0,5=$$

$$=0,25i+0,5i+j-0,25j-0,25k-0,5k=0,75i+0,75j-0,75k$$

Длина нормали к плоскости будет равна

$$\mid t \mid=\sqrt{0,75^2+0,75^2+0,75^2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$$

5) Определяем расстояние:

$$d=\frac{\mid s \mid}{\mid t \mid}=\frac{0,75}{0,75\sqrt{3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$

Ответ: $d=\frac{1}{\sqrt{3}}$.

Задача 2.

Основанием прямой треугольной призмы  $ABCA_1B_1C_1$ является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Грань $ACC_1A_1$ является квадратом.

а) Докажите, что прямые $CA_1$ и $AB_1$ перпендикулярны.

б) Найдите расстояние между прямыми $CA_1$ и $AB_1$, если $AC = 4, BC = 7$.

Решение.

а)Вводим систему координат с началом в точке $C_1$. В этой системе координаты точек $C (0; 0; x)$ - если $CC_1=x$, $A_1 (x; 0; 0)$ - так как $AA_1=AC$; $A(x; 0; x); B_1(0; b; 0)$ - так как мы не знаем длины катета $B_1C_1$, обозначим ее $b$.

Координаты вектора $CA_1$ $(x; 0; -x)$, координаты вектора $AB_1$ $(-x; b; -x)$.

Определим скалярное произведение векторов $CA_1$ и $AB_1$:

$$\vec{CA_1}\cdot \vec{AB_1}=x\cdot(-x)+0\cdot b+(-x)\cdot(-x)=0$$

Поэтому два данных вектора перпендикулярны.

Заметьте, для доказательства пункта а) мы не использовали данные пункта б). Теперь снова определим координаты указанных векторов, уже с учетом пункта б): координаты вектора $CA_1$ $(4; 0; -4)$, координаты вектора $AB_1$ $(-4; 7; -4)$.

2) Пусть вспомогательный вектор будет $CB_1 (0; 7; -4)$.

3)Определяем смешанное произведение. Составим определитель:

$$s=\begin{vmatrix} 4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4\\ 0 & 7 & -4 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем определитель по правилу Саррюса:

$$s=\begin{vmatrix} 4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4\\ 0 & 7 & -4 \end{vmatrix}\begin{matrix} 4 & 0 \\ -4 & 7\\ 0 & 7 \end{matrix}=-16\cdot 7+0+16\cdot 7 -0+16\cdot 7-0=16\cdot 7$$

4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: $CA_1$ и $AB_1$.

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем его по правилу Саррюса:

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\4 & 0 & -4\\ -4 & 7 & -4 \end{vmatrix}\begin{matrix} i & j \\ 4 & 0\\ -4 & 7 \end{matrix}=$$$$=i\cdot0\cdot (-4)+j\cdot (-4)\cdot (-4)+k\cdot 4\cdot 7-k\cdot 0\cdot (-4)-i\cdot (-4)\cdot 7-j\cdot (-4)\cdot 4=$$$$=16j+28k+28i+16j=28i+32j+28k$$

Длина нормали к плоскости будет равна

$$\mid t \mid=\sqrt{28^2+32^2+28^2}=36\sqrt{2}$$

5) Определяем расстояние:

$$d=\frac{\mid s\mid }{\mid t \mid }=\frac{16\cdot7}{36\sqrt{2}}=\frac{28}{9\sqrt{2}}$$

Ответ: $d=\frac{14\sqrt{2}}{9}$.

Задача 3.

В правильной четырёхугольной пирамиде $SABCD$ сторона $AB$ основания равна $2\sqrt{3}$, а высота $SH$ пирамиды равна 3. Точки $M$ и $N$ — середины рёбер $CD$ и $AB$, соответственно, а $NT$ — высота пирамиды $NSCD$ с вершиной $N$ и основанием $SCD$.

а) Докажите, что точка $T$ является серединой $SM$.

б) Найдите расстояние между $NT$ и $SC$.

Решение.

а) Треугольник $MSN$ - равносторонний. Это легко установить, рассчитав стороны $SM=SN=2\sqrt{3}$ по теореме Пифагора. Так как $MT$ - высота, то она обязательно и медиана в этом треугольнике. Следовательно - $T$ - середина $SN$.

б) Расстояние определим методом координат – несмотря на то, что классическим методом это, может быть, сделать проще. Для начала введем систему координат.

1) Определяем координаты нужных точек: $H (0; 0; 0), S (0; 0; 3), N (0; -\sqrt{3}; 0), M (0; \sqrt{3}; 0), T (0; \frac{\sqrt{3}}{2}; 1,5), C ( -\sqrt{3}; \sqrt{3}; 0)$.

Координаты основных векторов: $NT (0; 1,5\sqrt{3}; 1,5)$ и $SC (-\sqrt{3}; \sqrt{3}; -3)$.

2) Вспомогательный вектор $NS (0; \sqrt{3}; 3)$.

3) Определяем смешанное произведение. Составим определитель:

$$s=\begin{vmatrix} 0 & 1,5\sqrt{3} & 1,5\\ -\sqrt{3} & \sqrt{3} & -3\\ 0 & \sqrt{3} & 3 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем определитель по правилу Саррюса:

$$s=\begin{vmatrix} 0 & 1,5\sqrt{3} & 1,5\\ -\sqrt{3} & \sqrt{3} & -3\\ 0 & \sqrt{3} & 3 \end{vmatrix}\begin{matrix} 0 & 1,5\sqrt{3} \\ -\sqrt{3} & \sqrt{3}\\ 0 & \sqrt{3} \end{matrix}=$$$$=0\cdot \sqrt{3}\cdot \sqrt{3}+1,5\sqrt{3}\cdot (-3)\cdot 0+1,5\cdot (-\sqrt{3})\cdot \sqrt{3}-0\cdot \sqrt{3}\cdot1,5 -\sqrt{3}\cdot(-3)\cdot 0-3\cdot (-\sqrt{3})\cdot 1,5\sqrt{3}=$$$$=-4,5+\frac{27}{2}=9$$

4) Составляем еще один определитель на двух основных наших векторах: $CA_1$ и $AB_1$.

$$t=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0 & 1,5\sqrt{3}  & 1,5\\ -\sqrt{3}  & \sqrt{3}  & -3 \end{vmatrix}$$

Рассчитываем его по правилу Саррюса:

$$s=\begin{vmatrix} i  & j & k \\0 & 1,5\sqrt{3}  & 1,5\\ -\sqrt{3}  & \sqrt{3}  & -3 \end{vmatrix}\begin{matrix} i & j \\ 0 & 1,5\sqrt{3}\\ -\sqrt{3}  & \sqrt{3} \end{matrix}=$$$$=i \cdot 1,5\sqrt{3}\cdot (-3)+j \cdot1,5\cdot(-\sqrt{3})+k\cdot 0 \cdot \sqrt{3}-k\cdot 1,5\sqrt{3}\cdot (-\sqrt{3})-I \cdot 1,5 \cdot \sqrt{3}-j\cdot 0 \cdot (-\sqrt{3})=$$$$=-4,5\sqrt{3}i-1,5\sqrt{3}j-4,5k-1,5\sqrt{3}i=-6\sqrt{3}i-1,5\sqrt{3}j-4,5k$$

Длина нормали к плоскости будет равна

$$\mid t \mid=\sqrt{(6\sqrt{3})^2+(1,5\sqrt{3})^2+4,5^2}=3\sqrt{15}$$

5) Определяем расстояние:

$$d=\frac{\mid s\mid }{\mid t \mid }=\frac{9}{3\sqrt{15}}=\frac{3}{\sqrt{15}}$$

Ответ: $d=\frac{\sqrt{15}}{5}$.