Несложная, но интересная задачка по стереометрии

Задача.

Ребро основания правильной пирамиды $SABC$ равно 4. Точки $M$ и $K$ - середины ее боковых ребер $AS$ и $BS$. Известно, что прямые $BM$ и $CK$ перпендикулярны друг другу.

а) Найдите длину отрезка $CK$;

б) Найдите площадь сечения пирамиды, проходящего через прямую $BM$ параллельно прямой $CK$.

Решение. Сделаем чертеж.

Рисунок к задаче

Перенесем отрезок $BM$ параллельно самому себе: точка $M$ переедет в точку $K$, а точка $B$ - вдоль прямой $AB$ за точку $B$ на 2 – так как длина отрезка $MK$ - средней линии треугольника $ABS$ - равна двум. Получили точку $D$ и треугольник $BCD$, который и рассмотрим повнимательнее. В нем известны две стороны - $BC=4$  и $BD=2$, и угол $CBD=120^{\circ}$. По теореме косинусов находим $CD$:

$$CD^2=BC^2+BD^2-2BC\cdot BD\cdot \cos CBD$$

$$CD^2=16+4-2\cdot 8\cdot (-0,5)=28$$

$$CD=\sqrt{28}$$

Сдвиг отрезка параллельно самому себе

Так как пирамида правильная, то ее боковые грани – равные треугольники, поэтому $BM=CK=KD$. Треугольник $CDK$ - равнобедренный. А так как по условию $BM\perp CK$, то и $CK \perp KD$, то есть треугольник $CDK$ - равнобедренный прямоугольный, то есть катет в нем в $\sqrt{2}$ раз короче гипотенузы: $CK=\frac{CD}{\sqrt{2}}=\frac{28}{\sqrt{2}}=\sqrt{14}$.

Аналогично сдвигаем $CK$ параллельно самой себе: точка $K$ переезжает в $M$, точка $C$ - на расстояние 2 по прямой, параллельной $AB$ и проходящей через точку $C$ - в точку $T$:

Построение сечения также с помощью сдвига

$$MT=CK=\sqrt{14}$$

$$MT\perp BM$$

Через точки $T$ и $B$ проводим сечение $MBQ$. В треугольнике $TCB$ $CQ$ -  биссекриса. По свойству биссектрисы

$$\frac{TQ}{BQ}=\frac{TC}{CB}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$$

$$BT=CD=\sqrt{28}$$

Разделим в отношении $\frac{1}{2}$:

$$TQ=\frac{\sqrt{28}}{3}$$

$$BQ=\frac{2\sqrt{28}}{3}$$

Угол $MBQ$ равен $45^{\circ}$, так как  треугольник $TBM$ - прямоугольный равнобедренный. Таким образом, площадь сечения

$$S_{TBM}=\frac{1}{2}BM\cdot BQ\cdot \sin 45^{\circ}=0,5\cdot \sqrt{14}\cdot \frac{2\sqrt{28}}{3}\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{14}{3}$$

Ответ: $CK=\sqrt{14}$; $S_{TBM}=\frac{14}{3}$.