Разделы сайта

Категория:

Стереометрия (14) ...

Непростая задача о площади сечения цилиндра, которая может ввести в заблуждение.

04.06.2014 20:04:25 | Автор: Анна

Диаметр основания цилиндра равен 8, а длина его образующей - 4sqrt{3} . На окружности верхнего основания цилиндра выбраны точки F и D, делящие окружность на две дуги, длины которых относятся как 1:2. Найдите площадь сечения цилиндра плоскостью, проходящей через точки F, D и центр нижнего основания.

На первый взгляд - задача простая. Кажется, что сечение - трапеция, нижнее ее основание - диаметр цилиндра, найти длину верхнего основания вполне можно, также возможно отыскать высоту трапеции и - дело в шляпе. Однако..

Однако надо помнить, что сечение цилиндра наклонной плоскостью - всегда эллипс или его часть!

Сечения цилиндра

Посмотрим на различные сечения цилиндра плоскостями:

Наш случай приблизительно такой:

Сечение цилиндра неосевой плоскостью

И еще нам потребуется знать, какой будет проекция этого сечения на основание цилиндра:

Проекция сечения

Проекция - вид сверху

Все дело в том, что рассчитать непосредственно площадь сечения трудно из-за сложности его формы, поэтому воспользуемся тем, что

Площадь проекции плоской фигуры равна произведению площади этой фигуры на косинус угла между плоскостью фигуры и плоскостью проекции.

Проекция - вид сверху

Определить площадь проекции будет несложно, давайте это сделаем. Проекция будет представлять собой часть полукруга, которую можно разбить на два круговых сектора и треугольник. Нам известно, что длины дуг относятся как 1:2, значит, меньшая дуга имеет градусную меру {360circ}/3=120circ , и ей соответствует центральный угол с такой же градусной мерой, который является одним из углов треугольника FDC. Тогда, поскольку треугольник этот - равнобедренный, то два его острых угла равны 30circ , а высота будет равна половине радиуса цилиндра (против угла в 30circ лежит катет, вдвое меньший гипотенузы). Определим основание треугольника FDC, для этого найдем его половину по теореме Пифагора: $({1/2}FD)^2=(FC)^2-h^2$ , где FC - радиус цилиндра, FC=4, h=1/2{FC}=2

$({1/2}FD)^2=(4)^2-2^2$

({1/2}FD)=sqrt{12}=2sqrt{3}

FD=4sqrt{3}

Площадь треугольника FDC равна половине произведения основания на высоту:

S{Delta{FDC}}=1/2{h*FD}=1/2{2*4sqrt{3}}=4sqrt{3}

Кроме треугольника FDC в состав площади проекции сечения входят еще два круговых сектора, центральные углы которых равны 30 circ , то есть площадь каждого из них - 1/12 часть круга, а вместе их площадь - 1/6 часть круга, или $1/6{pi*{4^2}}=8/3{pi}$ . Площадь проекции: $S_pr=4sqrt{3}+8/3{pi}$ .

Осталось определить cos{alpha} . Сделаем еще рисунок:

Найдем высоту сечения, это гипотенуза треугольника KGO, KO: $KO=sqrt{KG^2+GO^2}$ . В этом выражении нам все известно: KG - это высота Delta{FDC} - h, а GO - это образующая цилиндра, его высота. Тогда